题目内容

一条斜率为1的直线l与离心率e= $数学公式$ 的椭圆C： $数学公式$ + $数学公式$ =1（a＞b＞0）交于P、Q两点，直线l与y轴交于点R，且 $数学公式$ • $数学公式$ =-3， $数学公式$ =3 $数学公式$ ，求直线l和椭圆C的方程．

解：∵e= $\text{[math]}$ ，∴ $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，a²=2b²，则椭圆方程为 $\text{[math]}$ ，
设l方程为：y=x+m，P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），
联立 $\text{[math]}$ ，去y得3x²+4mx+2m²-2b²=0，
故有△=16m²-4×3（2m²-2b²）=8（-m²+3b²）＞0
∴3b²＞m²（*）
x₁+x₂=- $\text{[math]}$ m（1）
x₁x₂= $\text{[math]}$ （m²-b²）（2）
又 $\text{[math]}$ • $\text{[math]}$ =-3得x₁x₂+y₁y₂=-3，
而y₁y₂=（x₁+m）（x₂+m）=x₁x₂+m（x₁+x₂）+m²，
所以2x₁x₂+m（x₁+x₂）+m²=-3，
故 $\text{[math]}$ （m²-b²）- $\text{[math]}$ m²+m²=-3，∴3m²-4b²=-9（3）
又R（0，m）， $\text{[math]}$ =3 $\text{[math]}$ ，（-x₁，m-y₁）=3（x₂，y₂-m）
从而-x₁=3x₂（4）
由（1）（2）（4）得3m²=b²（5）
由（3）（5）解得b²=3，m=±1适合（*），
∴所求直线l方程为y=x+1或y=x-1；椭圆C的方程为 $\text{[math]}$ =1．
分析：由e= $\text{[math]}$ ，知 $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，a²=2b²，则椭圆方程为 $\text{[math]}$ ，设l方程为：y=x+m，P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），
联立 $\text{[math]}$ ，得3x²+4mx+2m²-2b²=0，故有△=16m²-4×3（2m²-2b²）=8（-m²+3b²）＞0．由此入手能求出直线l方程和椭圆C的方程．
点评：本题考查直线和椭圆的位置关系的综合运用，综合性强，难度大，是高考的重点．解题时要认真审题，仔细解答，注意挖掘题设中的隐含条件，合理地进行等价转化．