Question

下列说法中正确的是

②③④

（写出所有正确的序号）
①△ABC中，若a=

3

，b=1，A=30°，则cosB的值有两解；
②△ABC中，若a=1，b=

3

，A=30°，则cosB的值有两解；
③△ABC中，若sinA＞sinB，则A＞B；
④△ABC中，若A＞B，则sinA＞sinB．

Answer 1

分析：①由a，b及sinA的值，利用正弦定理求出sinB的值，由a大于b，根据大边对大角，可得A大于B，由A的度数得出B的范围，利用同角三角函数间的基本关系求出cosB的值，可作出判断；
②方法同①类似，计算后可作出判断；
③根据sinA大于sinB，利用正弦定理得出a大于b，再根据三角形的边角关系得出A与B的大小，作出判断；
④在三角形ABC中，由A大于B，分两种情况考虑：若A和B都为锐角，根据正弦函数sinx在（0，90°）为增函数，可得出sinA大于sinB；若A为钝角，B为锐角，可设B=90°-x，A=90°+y，其中x与y都为锐角，表示出sinA和sinB，利用诱导公式化简，根据A和B都为三角形的内角，得到A+B的范围，进而得到x大于y，由余弦函数cosx在（0，90°）为减函数，可得出cosx与cosy的大小，进而得到sinA大于sinB，综上，若A大于B，则有sinA大于sinB，本选项正确．

解答：解：①由a=

3

，b=1，A=30°，
根据正弦定理

a

sinA

=

b

sinB

得：sinB=

1× 1 2

3

=

3

6

，
又a＞b，得到A＞B，即B＜30°，
则cosB=

1-sin2B

=

33

6

，即cosB只有一解，本选项错误；
②由a=1，b=

3

，A=30°，
根据正弦定理

a

sinA

=

b

sinB

得：sinB=

3 × 1 2

1

=

3

2

，
又a＜b，得到A＜B，即B＞30°，
则cosB=

1-sin2B

=

1

2

，即cosB有两解，本选项正确；
③在△ABC中，若sinA＞sinB，则由正弦定理可得 a＞b，
再根据△ABC中大边对大角可得A＞B，本选项正确；
④△ABC中，若A＞B，分两种情况：
当0＜B＜A≤90°，正弦函数sinx为单调递增区间，显然sinA＞sinB；
当0＜B＜90°＜A，设B=90°-x，A=90°+y（x与y均为大于0，小于90°的角），
sinB=sin（90°-x）=cosx，sinA=（90°+y）=cosy，
∵0＜A+B＜180°，则0＜90°-x+90°+y＜180，∴x＞y，
由余弦函数cosx在（0，90°）为单调递减函数，
∴cosx＜cosy，即sinB＜sinA，
综上，△ABC中，若A＞B，则sinA＞sinB，本选项正确，
故答案为：②③④

点评：此题属于解三角形的题型，涉及的知识有正弦定理，同角三角函数间的基本关系，三角形的边角关系，以及正弦、余弦函数的单调性，利用了换元及分类讨论的思想，第四小题的技巧性比较强，要求学生知识要全面，方法要灵活．