题目内容

已知真命题：“函数y=f（x）的图象关于点P（a，b）成中心对称图形”的充要条件为“函数y=f（x+a）-b 是奇函数”．
（1）将函数g（x）=x³-3x²的图象向左平移1个单位，再向上平移2个单位，求此时图象对应的函数解析式，并利用题设中的真命题求函数g（x）图象对称中心的坐标；
（2）求函数h（x）=

图象对称中心的坐标；
（3）已知命题：“函数 y=f（x）的图象关于某直线成轴对称图象”的充要条件为“存在实数a和b，使得函数y=f（x+a）-b 是偶函数”．判断该命题的真假．如果是真命题，请给予证明；如果是假命题，请说明理由，并类比题设的真命题对它进行修改，使之成为真命题（不必证明）．
[解]（1）
（2）
（3）

【答案】分析：（1）先写出平移后图象对应的函数解析式为y=（x+1）³-3（x+1）²+2，整理得y=x³-3x，由于函数y=x³-3x是奇函数，利用题设真命题知，函数g（x）图象对称中心．
（2）设h（x）=

的对称中心为P（a，b），由题设知函数h（x+a）-b是奇函数，从而求出a，b的值，即可得出图象对称中心的坐标．
（3）此命题是假命题．举反例说明：函数f（x）=x的图象关于直线y=-x成轴对称图象，但是对任意实数a和b，函数y=f（x+a）-b，即y=x+a-b总不是偶函数．修改后的真命题：“函数y=f（x）的图象关于直线x=a成轴对称图象”的充要条件是“函数y=f（x+a）是偶函数”．
解答：解：（1）平移后图象对应的函数解析式为y=（x+1）³-3（x+1）²+2，整理得y=x³-3x，
由于函数y=x³-3x是奇函数，由题设真命题知，函数g（x）图象对称中心的坐标是（1，-2）．
（2）设h（x）=

的对称中心为P（a，b），
由题设知函数h（x+a）-b是奇函数．
设f（x）=h（x+a）-b，则f（x）=

-b，
即f（x）=

．
由不等式

的解集关于原点对称，则-a+（4-a）=0，得a=2．
此时f（x）=

-b，x∈（-2，2）．
任取x∈（-2，2），由f（-x）+f（x）=0，得b=1，
所以函数h（x）=

图象对称中心的坐标是（2，1）．
（3）此命题是假命题．
举反例说明：函数f（x）=x的图象关于直线y=-x成轴对称图象，
但是对任意实数a和b，函数y=f（x+a）-b，即y=x+a-b总不是偶函数．
修改后的真命题：“函数y=f（x）的图象关于直线x=a成轴对称图象”的充要条件是“函数y=f（x+a）是偶函数”．
点评：本小题主要考查命题的真假判断与应用，考查函数单调性的应用、函数奇偶性的应用、函数的对称性等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想．属于中档题．