题目内容
(2013•杨浦区一模)(文) 已知函数f(x)=cos(x-
),
(1)若f(a)=
,求sin2α的值;
(2)设g(x)=f(x)•f(x+2π),求g(x)在区间[-
,
]上的最大值和最小值.
π |
4 |
(1)若f(a)=
7
| ||
10 |
(2)设g(x)=f(x)•f(x+2π),求g(x)在区间[-
π |
6 |
π |
3 |
分析:(1)由f(a)=cos(α-
)=
,化简可得 sinα+cosα=
,平方可得 sin2α 的值.
(2)利用二倍角公式、两角和差的余弦公式化简 g(x)的解析式为
cos2x,再根据x的范围求得求g(x)
在区间[-
,
]上的最大值和最小值.
π |
4 |
7
| ||
10 |
7 |
5 |
(2)利用二倍角公式、两角和差的余弦公式化简 g(x)的解析式为
1 |
2 |
在区间[-
π |
6 |
π |
3 |
解答:解:(1)因为f(a)=cos(α-
)=
,化简可得 sinα+cosα=
.…(3分)
平方得,1+sin2α=
,…(5分)
所以,sin2α=
.…(7分)
(2)因为 g(x)=f(x)•f(x+2π)=cos(x-
)cos(x+
)=
(cosx+sinx)•
(cosx-sinx)
=
(cos2x-sin2x)=
cos2x. …(11分)
当 x∈[-
,
]时,2x∈[-
,
].…(12分)
所以,当2x=0,即 x=0时,g(x)取得最大值为
; …(13分)
当2x=
,即 x=
时,g(x)取得最小值为-
.…(14分)
π |
4 |
7
| ||
10 |
7 |
5 |
平方得,1+sin2α=
49 |
25 |
所以,sin2α=
24 |
25 |
(2)因为 g(x)=f(x)•f(x+2π)=cos(x-
π |
4 |
π |
4 |
| ||
2 |
| ||
2 |
=
1 |
2 |
1 |
2 |
当 x∈[-
π |
6 |
π |
3 |
π |
3 |
2π |
3 |
所以,当2x=0,即 x=0时,g(x)取得最大值为
1 |
2 |
当2x=
2π |
3 |
π |
3 |
1 |
4 |
点评:本题主要考查二倍角公式、两角和差的余弦公式的应用,余弦函数的定义域和值域,属于中档题.
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