题目内容

四边形ABCD的四个顶点都在抛物线上,A,C关于轴对称,BD平行于抛物线在点C处的切线。
(Ⅰ)证明:AC平分
(Ⅱ)若点A坐标为,四边形ABCD的面积为4,求直线BD的方程。

(Ⅰ)详见解析;(Ⅱ)y=2x

解析试题分析:(Ⅰ)依题意设出A、B、C、D四点的坐标,注意到AC的斜率为0,只需证AB、AD的斜率之和为0即可;(Ⅱ)四边形ABCD可以AC为底分成两个三角形求出面积,解出得到的方程即可.
试题解析:(Ⅰ)设A(x0),B(x1),C(-x0),D(x2).
对y=x2求导,得y¢=2x,则抛物线在点C处的切线斜率为-2x0
直线BD的斜率k==x1+x2
依题意,有x1+x2=-2x0.     
记直线AB,AD的斜率分别为k1,k2,与BD的斜率求法同理,得
k1+k2=(x0+x1)+(x0+x2)=2x0+(x1+x2)=0,
所以∠CAB=∠CAD,即AC平分∠BAD.   
(Ⅱ)由题设,x0=-1,x1+x2=2,k=2.四边形ABCD的面积
S=|AC|·|AC|·|x2+x1|·|x2-x1|
×2×2×|2-2x1|=4|1-x1|,
由已知,4|1-x1|=4,得x1=0,或x1=2.
所以点B和D的坐标为(0,0)和(2,4),
故直线BD的方程为y=2x.

考点:1、抛物线及切线;2、直线的斜率及应用.

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