题目内容

已知二次函数f(x)=ax2+bx+1(a＞0，b∈R)，设方程f(x)=x有两个实数根x1，x2．

(1)如果x1＜2＜x2＜4，设函数f(x)的对称轴为x=x0，求证x0＞-1；

(2)如果0＜x1＜2且f(x)=x的两个实数根相差为2，求实数b的取值范围．

答案：(1)设g(x)=f(x)-x=ax2+(b-1)x+1，且a＞0，由

条件x1＜2＜x2＜4，得g(2)＜0且g(4)＞0．

即4a+2b-1＜0且16a+46-3＞0

得-4a＜-2aa＞．

对-4a＜b＜-2a，可得

，

∴x0=.

(2)由g(x)=ax2+(b-1)x+1=0可知：x1x2=＞0，

即x1与x2同号

∵0＜x1＜2，x1＜2＜x2＜4，又x2-x1=2，

∴(x2-x1)2=(x2+x1)2-4x1x2==42a+1=，由g(2)＜0，即4a+2b-1＜0，

代入有＜3-2b，得b＜．

练习册系列答案
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已知二次函数f(x)=ax2+bx+
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满足f（1+x）=f（1-x）且方程f(x)=
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x
f(x)．
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（Ⅱ）当a=
1
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bx-1a2x+2b

（1）f（x）为偶函数，试判断g（x）的奇偶性；
（2）若方程g（x）=x有两个不相等的实根，当a＞0时判断f（x）在（-1，1）上的单调性；
（3）若方程g（x）=x的两实根为x1，x2f（x）=0的两根为x3，x4，求使x3＜x1＜x2＜x4成立的a的取值范围．
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-x2-x+2
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3
3
．
已知二次函数f(x)=ax2+bx+1和g(x)=
bx-1a2x+2b

（1）f（x）为偶函数，试判断g（x）的奇偶性；
（2）若方程g（x）=x有两个不相等的实根，当a＞0时判断f（x）在（-1，1）上的单调性；
（3）当b=2a时，问是否存在x的值，使满足-1≤a≤1且a≠0的任意实数a，不等式f（x）＜4恒成立？并说明理由．

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