题目内容
已知二次函数f(x)=ax2+bx+1(a>0,b∈R),设方程f(x)=x有两个实数根x1,x2.(1)如果x1<2<x2<4,设函数f(x)的对称轴为x=x0,求证x0>-1;
(2)如果0<x1<2且f(x)=x的两个实数根相差为2,求实数b的取值范围.
答案:(1)设g(x)=f(x)-x=ax2+(b-1)x+1,且a>0,由
条件x1<2<x2<4,得g(2)<0且g(4)>0.
即4a+2b-1<0且16a+46-3>0
得-4a<
-2a
a>
.
对-4a<b<
-2a,可得
,
∴x0=.
(2)由g(x)=ax2+(b-1)x+1=0可知:x1x2=>0,
即x1与x2同号
∵0<x1<2,x1<2<x2<4,又x2-x1=2,
∴(x2-x1)2=(x2+x1)2-4x1x2==4
2a+1=
,由g(2)<0,即4a+2b-1<0,
代入有<3-2b,得b<
.

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