题目内容

已知函数f （x）=2sin² $数学公式$
（1）若函数h （x）=f （x+t）的图象关于点 $数学公式$ 对称，且t∈（0，π），求t的值；
（2）设p：x∈ $数学公式$ ，q：|f （x）-m|≤3，若p是q的充分不必要条件，求实数m的取值范围．

解：（1）由题意知， $\text{[math]}$
= $\text{[math]}$ ，
∴h（x）=f（x+t）=2sin（ $\text{[math]}$ ），
∴h（x）的图象的对称中心为 $\text{[math]}$ ，k∈Z，
又∵已知点 $\text{[math]}$ 为h（x）的图象的一个对称中心，
∴ $\text{[math]}$ ，
∵t∈（0，π），∴t= $\text{[math]}$
（2）若p成立，即当x∈ $\text{[math]}$ 时， $\text{[math]}$ ，
∴ $\text{[math]}$ ，即f（x）∈[1，2]，
由|f（x）-m|≤3得，m-3≤f（x）≤m+3，
∵p是q的充分不必要条件，∴ $\text{[math]}$ ，解得-1≤m≤4，
即m的取值范围是[-1，4]．
分析：（1）利用倍角公式和两角和差的正弦（余弦）公式，对函数f （x）的解析式进行变形后，求出函数h （x）的解析式，再根据正弦函数的对称性和t的范围求出t的值；
（2）根据x的范围求出“ $\text{[math]}$ ”的范围，由正弦函数的性质求出f （x）的值域，即p的范围；再求出绝对值不等式：|f （x）-m|≤3的解集，根据题意列出关于m的不等式，求出m的范围．
点评：本题考查了复合三角函数的性质问题，利用倍角公式和两角和差的正弦（余弦）公式对解析式进行化简，再根据正弦函数的性质进行求解，主要考查了“整体思想”和计算能力．