Question

已知向量

m

=(

3

sin

x

4

，1)，

n

=(cos

x

4

，cos2

x

4

)，函数f(x)=

m

.

n

．
（Ⅰ）若f（x）=1，求cos(

2π

3

-x)的值；
（Ⅱ）在锐角△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且满足acosC+

1

2

c=b，求f（2B）的取值范围．

Answer 1

分析：（I）利用向量的数量积公式求出f（x），利用二倍角公式及两角和、差公式化简f（x）；利用诱导公式将cos(

2π

3

-x)用sin(

x

2

+

x

6

)表示，求出值．
（II）利用三角形的余弦定理将已知等式中的余弦用边表示，再次利用余弦定理求出角A，利用三角形的内角和为π及B，C都是锐角求出B的范围，求出f（2B）的范围．

解答：解：f(x)=

3

sin

x

4

cos

x

4

+cos2

x

4

=

3

2

sin

x

2

+

1

2

cos

x

2

+

1

2

=sin(

x

2

+

x

6

)+

1

2

（Ⅰ）若f（x）=1，可得sin(

x

2

+

x

6

)=

1

2

，
则cos(

2π

3

-x)=2cos2(

π

3

-

x

2

)-1=2sin2(

x

2

+

π

6

)-1=-  

1

2

（Ⅱ）由acosC+

1

2

c=b可得a

a2+b2-c2

2ab

+

1

2

c=b即b²+c²-a²=bc
所以cosA=

b2+c2-a2

2bc

=

1

2

得A=

π

3

，B+C=

2π

3

又B，C均为锐角∴B∈(

π

6

，

π

2

)
∴sin(B+

π

6

)∈(

3

2

，1]
∴f(2B)=sin(B+

π

6

)+

1

2

的取值范围是(

3 +1

2

，

3

2

]

点评：本题考查向量的数量积公式、三角形的二倍角公式、和，差角公式、诱导公式；三角形的余弦定理．