题目内容

在直角坐标系xOy中，点M到点F₁ $数学公式$ 、F₂ $数学公式$ 的距离之和是4，点M的轨迹是C，直线l： $数学公式$ 与轨迹C交于不同的两点P和Q．
（Ⅰ）求轨迹C的方程；
（Ⅱ）是否存在常数k，使以线段PQ为直径的圆过原点O？若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由．

解：（1）∵点M到 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 的距离之和是4，
∴M的轨迹C是长轴长为4，焦点在x轴上焦距为 $\text{[math]}$ 的椭圆，
其方程为 $\text{[math]}$ ．（4分）
（2）将 $\text{[math]}$ ，代入曲线C的方程，整理得 $\text{[math]}$ ．①（6分）
设P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），由方程①，得 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．②（8分）
又 $\text{[math]}$ ．③（9分）
若以PQ为直径的圆过原点，则 $\text{[math]}$ ，所以x₁x₂+y₁y₂=0，（10分）
将②、③代入上式，解得 $\text{[math]}$ ．（12分）
又因k的取值应满足△＞0，即4k²-1＞0（*），将 $\text{[math]}$ 代入（*）式知符合题意．（13分）
分析：（Ⅰ）直接结合条件利用定义得M的轨迹C是长轴长为4，焦点在x轴上焦距为 $\text{[math]}$ 的椭圆，即可求轨迹C的方程；
（Ⅱ）先把直线方程与曲线方程联立，得到关于点P和Q坐标之间的等式，再代入以线段PQ为直径的圆过原点O的等价结论x₁x₂+y₁y₂=0即可求出k的值．
点评：本题综合考查了直线与椭圆的位置关系以及轨迹方程的求法．直线与圆锥曲线的位置关系，由于集中交汇了直线，圆锥曲线两章的知识内容，综合性强，能力要求高，还涉及到函数，方程，不等式，平面几何等许多知识，可以有效的考查函数与方程的思想，数形结合的思想，分类讨论的思想和转化化归的思想，因此，这一部分内容也成了高考的热点和重点．