题目内容
【题目】在△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，且2asin A＝(2b＋c)sin B＋(2c＋b)sin C.
(1)求A的大小； (2)若sin B＋sin C＝1，试判断△ABC的形状．(12分)
【答案】（1）A＝120°.（2）B＝C＝30°.
【解析】
(1)利用正弦定理，余弦定理即可求
的大小；
方法一 由(1)得sin2A＝sin2B＋sin2C＋sin Bsin C，
又A＝120°，∴sin2B＋sin2C＋sin Bsin C＝
，
∵sin B＋sin C＝1，∴sin C＝1－sin B.，代入求出
，即可判断；
方法二 由(1)A＝120°，∴B＋C＝60°，
则C＝60°－B，∴sin B＋sin C=sin(B＋60°)＝1，求出，即可判断；
解 (1)由已知，根据正弦定理得2a2＝(2b＋c)b＋(2c＋b)c，
即a2＝b2＋c2＋bc.
由余弦定理得a2＝b2＋c2－2bccos A，
故cos A＝－
，A＝120°.
(2)方法一 由(1)得sin2A＝sin2B＋sin2C＋sin Bsin C，
又A＝120°，∴sin2B＋sin2C＋sin Bsin C＝，
∵sin B＋sin C＝1，∴sin C＝1－sin B.
∴sin2B＋(1－sin B)2＋sin B(1－sin B)＝，
即sin2B－sin B＋
＝0.
解得sin B＝.故sin C＝.
∴B＝C＝30°.
所以，△ABC是等腰的钝角三角形．
方法二 由(1)A＝120°，∴B＋C＝60°，
则C＝60°－B，
∴sin B＋sin C＝sin B＋sin(60°－B)＝sin B＋
cos B－sin B
＝sin B＋cos B＝sin(B＋60°)＝1，
∴B＝30°，C＝30°.
∴△ABC是等腰的钝角三角形．
