Question

已知f(x)=log2

1-x

1+x

（-1＜x＜1）
（1）判断函数f（x）的奇偶性，并加以证明；
（2）若a，b∈（-1，1），证明：f(a)+f(b)=f(

a+b

1+ab

)；
（3）证明对任意常数k∈R，f（x）=k有且仅有一解．

Answer 1

分析：（1）先求定义域，看是否关于原点对称，再用定义判断．
（2）若a、b∈（-1，1），先化简f（a）+f（b），再化简f（

a+b

1+ab

）的解析式，然后作比较发现是相等的式子．
（2）用单调性定义证明，先在定义域上任取两个变量，且界定大小，再作差变形，与0比较．

解答：解：（1）f(-x)=log2

1+(-x)

1-(-x)

=log2

1-x

1+x

=log2(

1+x

1-x

)-1=-log2

1+x

1-x

=-f(x)
又x∈（-1，1），所以函数f（x）是奇函数
（2）若a、b∈（-1，1），f（a）+f（b）=lg

1-a

1+a

+lg

1-b

1+b

=lg

1-a-b+ab

1+a+b+ab

，
f（

a+b

1+ab

）=lg

1- a+b 1+ab

1+ a+b 1+ab

=lg

1+ab-a-b

1+ab+a+b

，∴f（a）+f（b）=f（

a+b

1+ab

）．
（3）设-1＜x＜1，△x=x₂-x₁＞0，△y=f(x2)-f(x1)=log2

1+x2

1-x2

-log2

1+x1

1-x1

=log2

(1-x1)(1+x2)

(1+x1)(1-x2)

因为1-x₁＞1-x₂＞0；1+x₂＞1+x₁＞0所以

(1-x1)(1+x2)

(1+x1)(1-x2)

＞1
所以 △y=log2

(1-x1)(1+x2)

(1+x1)(1-x2)

＞0所以函数 f(x)=log2

1+x

1-x

在（-1，1）上是增函数．
从而对任意常数k∈R，f（x）=k有且仅有一解．

点评：本题主要考查函数奇偶性和单调性，证明奇偶性一般用定义，证明单调性可用定义或导数法．