Question

【题目】如图，在矩形中，为CD的中点，将沿AE折起到的位置，使得平面平面．

（1）证明：平面平面；

（2）求平面与平面所成二面角的正弦值.

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）.

【解析】

（1）由题可得，即，由平面平面，根据面面垂直的性质可得平面，从而证明平面平面；

（2）结合（1），如图建立空间直角坐标系，分别求出平面与平面的法向量，由二面角的余弦公式求出余弦值，从而可得到平面与平面所成二面角的正弦值。

（1）证明：设，在矩形中，由为的中点，易求得：，

所以．

所以．

又因为平面平面，平面平面，

所以平面．

又平面，所以平面平面.

（2）设，取中点，连接﹐由，得，所以．又平面平面，平面平面，故平面．如图，以 为坐标原点，分别以，的方向为轴，轴正方向建立空间直角坐标系，

依题意得：.

，

由（1）知平面，故可取平面的法向量为，设平面的法向量为，则，即

不妨取，得，

设平面与平面所成二面角为θ，

，则，

所以平面与平面所成二面角的正弦值为.