题目内容
20．已知$\frac{1}{3}$≤a≤1，设函数f（x）=ax2-2x+1在区间[1，3]上的最大值为M（a），最小值为m（a），设g（a）=M（a）-m（a）．（1）求g（a）的表达式；
（2）求证：g（a）≥$\frac{1}{2}$．
分析 （1）先配方，f（x）=$a（x-\frac{1}{a}）^{2}+1-\frac{1}{a}$，根据a的范围得到$1≤\frac{1}{a}≤3$，此时f（x）的最小值显然为m（a）=$f（\frac{1}{a}）=1-\frac{1}{a}$，为求最大值，可分：$1≤\frac{1}{a}＜2$，和$2≤\frac{1}{a}≤3$这两种情况求出最大值M（a），这样即可得出g（a）=$\left\{\begin{array}{l}{9a+\frac{1}{a}-6}&{\frac{1}{2}＜a≤1}\\{a+\frac{1}{a}-2}&{\frac{1}{3}≤a≤\frac{1}{2}}\end{array}\right.$；
（2）求导数：分别在每段里求导数，并判断导数符号，从而会得到g（$\frac{1}{2}$）为g（a）的最小值，这样便可得出g（a）$≥\frac{1}{2}$．
解答 解：（1）f（x）=$a（x-\frac{1}{a}）^{2}+1-\frac{1}{a}$，$\frac{1}{3}≤a≤1$；
∴$1≤\frac{1}{a}≤3$；
①当$1≤\frac{1}{a}＜2$，即$\frac{1}{2}＜a≤1$时，M（a）=f（3）=9a-5；
②当$2≤\frac{1}{a}≤3$，即$\frac{1}{3}≤a≤\frac{1}{2}$时，M（a）=f（1）=a-1；
∴$\frac{1}{3}≤a≤1$时，$M（a）=\left\{\begin{array}{l}{9a-5}&{\frac{1}{2}＜a≤1}\\{a-1}&{\frac{1}{3}≤a≤\frac{1}{2}}\end{array}\right.$；
∵$1≤\frac{1}{a}≤3$；
∴$\frac{1}{3}≤a≤1$时，$m（a）=f（\frac{1}{a}）=1-\frac{1}{a}$；
∴①当$\frac{1}{2}＜a≤1$时，g（a）=M（a）-m（a）=$9a+\frac{1}{a}-6$；
②当$\frac{1}{3}≤a≤\frac{1}{2}$时，g（a）=M（a）-m（a）=$a+\frac{1}{a}-2$；
∴$g（a）=\left\{\begin{array}{l}{9a+\frac{1}{a}-6}&{\frac{1}{2}＜a≤1}\\{a+\frac{1}{a}-2}&{\frac{1}{3}≤a≤\frac{1}{2}}\end{array}\right.$；
（2）证明：$\frac{1}{3}≤a≤\frac{1}{2}$时，g′（a）=$\frac{{a}^{2}-1}{{a}^{2}}＜0$，$\frac{1}{2}＜a≤1$时，$g′（a）=\frac{9{a}^{2}-1}{{a}^{2}}＞0$；
∴$a=\frac{1}{2}$时，g（a）取到最小值$\frac{1}{2}$；
∴$g（a）≥\frac{1}{2}$．
点评 考查配方求二次函数最值的方法，掌握比较端点值从而求出二次函数在闭区间上的最值的方法，分段函数的概念，以及分段函数的导数求法，根据导数求函数最值的方法．
