题目内容
【题目】已知函数,
.
(1)若,函数
在
上有三个零点,求实数
的取值范围;
(2)若常数,且对任何
,不等式
恒成立,求实数
的取值范围.
【答案】(1);(2)当
时,
;当
时,
;当
时,
【解析】
(1)时,方程
有三个解,即函数
与
在
上有三个交点,结合函数的图象,可得出结论;
(2)不等式恒成立,由
,可得
,令
,可知
,所以
恒成立,只需
,分别求出
,即可得出答案.
(1)时,
,令
,则
.
令,则
,
作出的图象,如下图:
当时,
单调递增;当
时,
单调递减;当
时,
单调递增,且
,
.
方程在
上有三个解,即函数
与
在
上有三个交点,结合图形可得
,解得
.
(2)由题意,恒成立,
由,可得
,即
,所以
,
令,由
,可知
,所以
恒成立,只需满足
.
①因为函数在
上单调递增,所以
;
②函数在
上的单调性为:在
上单调递减,在
上单调递增.
所以,当,即
时,
;
当,即
时,
;
当,即
时,
;
综上,当时,
;当
时,
;当
时,
.
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