题目内容
已知焦点在x轴上，中心在坐标原点的椭圆C的离心率为
，且过点P(
，1)
（1）求椭圆C的标准方程
（2）直线l：y=kx+m分别切椭圆C与圆M：x2+y2=15于A、B两点，求|AB|的值．
| 4 |
| 5 |
10
| ||
| 3 |
（1）求椭圆C的标准方程
（2）直线l：y=kx+m分别切椭圆C与圆M：x2+y2=15于A、B两点，求|AB|的值．
分析：（1）设出椭圆的方程，根据离心率及椭圆过P求出待定系数，即得椭圆的方程．
（2）用斜截式设出直线的方程，代入椭圆、圆的方程，化为关于x的一元二次方程，利用根与系数的关系，化简|AB|的解析式，即可求得结论．
（2）用斜截式设出直线的方程，代入椭圆、圆的方程，化为关于x的一元二次方程，利用根与系数的关系，化简|AB|的解析式，即可求得结论．
解答：解：（1）设椭圆的方程为
+
=1（a＞b＞0），则
∵椭圆C的离心率为
，∴
=
，c=
a，
∴b2=a2-c2=
a2，
∵椭圆过点P(
，1)，∴
+
=1，解得a2=25，∴b2=9，
故椭圆C的方程为
+
=1（4分）
（2）设A（x1，y1），B（x2，y2）分别为直线l与椭圆和圆的切点，
直线AB的方程为y=kx+m代入椭圆方程，消去y得：（25k2+9）x2+50kmx+25（m2-9）=0，
由于直线与椭圆相切，故△=（50kmx）2-4（25k2+9）×25（m2-9）=0，从而可得：m2=9+25k2，①，x1=-
，②
直线AB的方程为y=kx+m代入圆的方程，消去y得：（k2+1）x2+2kmx+m2-15=0，
由于直线与圆相切，得m2=15（1+k2），③，x2=-
，④
由①③得：k2=
，m2=24，由②④得：x2-x1=
，（9分）
∴|AB|2=（x2-x1）2+（y2-y1）2=（1+k2）（x2-x1）2=（1+k2）×
=4
∴|AB|=2，（12分）
| x2 |
| a2 |
| y2 |
| b2 |
∵椭圆C的离心率为
| 4 |
| 5 |
| c |
| a |
| 4 |
| 5 |
| 4 |
| 5 |
∴b2=a2-c2=
| 9 |
| 25 |
∵椭圆过点P(
10
| ||
| 3 |
| ||
| a2 |
| 1 | ||
|
故椭圆C的方程为
| x2 |
| 25 |
| y2 |
| 9 |
（2）设A（x1，y1），B（x2，y2）分别为直线l与椭圆和圆的切点，
直线AB的方程为y=kx+m代入椭圆方程，消去y得：（25k2+9）x2+50kmx+25（m2-9）=0，
由于直线与椭圆相切，故△=（50kmx）2-4（25k2+9）×25（m2-9）=0，从而可得：m2=9+25k2，①，x1=-
| 25k |
| m |
直线AB的方程为y=kx+m代入圆的方程，消去y得：（k2+1）x2+2kmx+m2-15=0，
由于直线与圆相切，得m2=15（1+k2），③，x2=-
| 15k |
| m |
由①③得：k2=
| 3 |
| 5 |
| 10k |
| m |
∴|AB|2=（x2-x1）2+（y2-y1）2=（1+k2）（x2-x1）2=（1+k2）×
| 100k2 |
| m2 |
∴|AB|=2，（12分）
点评：本题考查用待定系数法求椭圆的标准方程，一元二次方程根与系数的关系，解题的关键是联立方程，利用韦达定理求解．
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