Question

已知函数f(x)=

ax3+x2，x＜1 blnx  ，x≥1

，函数f（x）在x=

2

3

处取得极值．
（1）求实数a的值；
（2）若b≤2，t＜0，函数f（x）在[t，e]（e为自然对数的底数）上的最大值为2，求实数t的取值范围；
（3）对任意给定的正实数b，曲线y=f（x）上是否存在两点P，Q，使得△POQ是以O为直角顶点的直角三角形，且此三角形斜边中点在y轴上？

Answer 1

分析：（1）由题意，x＜1时，f（x）=ax³+x²，求导数，利用函数f（x）在x=

2

3

处取得极值，可得f′（

2

3

）=0，从而可求a的值；
（2）由题意，x=e时，blne=b≤2，利用b≤2，t＜0，函数f（x）在[t，e]（e为自然对数的底数）上的最大值为2，可得x=t时，函数取得最大值2，由此可求实数t的取值范围；
（3）假设曲线y=f（x）上存在两点P、Q满足题设要求，则点P、Q只能在y轴两侧．设P（t，f（t））（t＞0），则Q（-t，t³+t²），显然t≠1．由此入手能得到对任意给定的正实数a，曲线y=f（x）上存在两点P、Q，使得△POQ是以O为直角顶点的直角三角形，且此三角形斜边中点在y轴上．

解答：解：（1）由题意，x＜1时，f（x）=ax³+x²，则f′（x）=3ax²+2x，
∵函数f（x）在x=

2

3

处取得极值，∴f′（

2

3

）=

4

3

a+

4

3

=0，解得a=-1；
（2）由题意，x=e时，blne=b≤2
∵b≤2，t＜0，函数f（x）在[t，e]（e为自然对数的底数）上的最大值为2，
∴x=t时，函数取得最大值2，即-t³+t²=2，
∴t=-1；
（3）假设曲线y=f（x）上存在两点P、Q满足题设要求，则点P、Q只能在y轴两侧．
不妨设P（t，f（t））（t＞0），则Q（-t，t³+t²），显然t≠1
∵△POQ是以O为直角顶点的直角三角形，∴

OP

•

OQ

=0即-t²+f（t）（t³+t²）=0（*）
若方程（*）有解，存在满足题设要求的两点P、Q；
若方程（*）无解，不存在满足题设要求的两点P、Q．
若0＜t＜1，则f（t）=-t³+t²代入（*）式得：-t²+（-t³+t²）（t³+t²）=0
即t⁴-t²+1=0，而此方程无解，因此t＞1．此时f（t）=blnt，
代入（*）式得：-t²+（blnt）（t³+t²）=0即

1

b

=（t+1）lnt（**）
令h（x）=（x+1）lnx（x≥1），则h′（x）=lnx+

1

x

+1＞0
∴h（x）在[1，+∞）上单调递增，∵t＞1，∴h（t）＞h（1）=0，∴h（t）的取值范围是（0，+∞）．
∴对于b＞0，方程（**）总有解，即方程（*）总有解．
因此，对任意给定的正实数b，曲线y=f（x）上存在两点P、Q，使得△POQ是以O为直角顶点的直角三角形，且此三角形斜边中点在y轴上．

点评：本题考查导数的性质和应用，考查函数的最值，考查学生分析解决问题的能力，难度较大．