题目内容
15．如图，已知$\overrightarrow{OA}$=3$\overrightarrow{{e}_{1}}$，$\overrightarrow{OB}$=3$\overrightarrow{{e}_{2}}$．（1）若C、D是AB的三等分点，求$\overrightarrow{OC}$，$\overrightarrow{OD}$；
（2）若C、D、E是AB的四等分点，求$\overrightarrow{OC}$，$\overrightarrow{OD}$，$\overrightarrow{OE}$．
分析 （1）由条件利用两个向量的加减法的法则，以及其几何意义，求得$\overrightarrow{OC}$，$\overrightarrow{OD}$．
（2）由条件利用两个向量的加减法的法则，以及其几何意义，求得 $\overrightarrow{OC}$，$\overrightarrow{OD}$，$\overrightarrow{OE}$．
解答 解：（1）由题意可得$\overrightarrow{OC}$=$\overrightarrow{OA}$+$\frac{1}{3}$$\overrightarrow{AB}$=$\overrightarrow{OA}$+$\frac{1}{3}$（$\overrightarrow{OB}$-$\overrightarrow{OA}$）=$\frac{2}{3}$$\overrightarrow{OA}$+$\frac{1}{3}$$\overrightarrow{OB}$=2$\overrightarrow{{e}_{1}}$+$\overrightarrow{{e}_{2}}$，
$\overrightarrow{OD}$=$\overrightarrow{OA}$+$\frac{2}{3}$$\overrightarrow{AB}$=$\overrightarrow{OA}$+$\frac{2}{3}$（$\overrightarrow{OB}$-$\overrightarrow{OA}$）=$\frac{1}{3}$$\overrightarrow{OA}$+$\frac{2}{3}$$\overrightarrow{OB}$=$\overrightarrow{{e}_{1}}$+2$\overrightarrow{{e}_{2}}$．
（2）$\overrightarrow{OC}$=$\overrightarrow{OA}$+$\frac{1}{4}$$\overrightarrow{AB}$=$\overrightarrow{OA}$+$\frac{1}{4}$（$\overrightarrow{OB}$-$\overrightarrow{OA}$）=$\frac{3}{4}$$\overrightarrow{OA}$+$\frac{1}{4}$$\overrightarrow{OB}$=$\frac{9}{4}$$\overrightarrow{{e}_{1}}$+$\frac{3}{4}$$\overrightarrow{{e}_{2}}$，
$\overrightarrow{OD}$=$\overrightarrow{OA}$+$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{AB}$=$\overrightarrow{OA}$+$\frac{1}{2}$（$\overrightarrow{OB}$-$\overrightarrow{OA}$）=$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{OA}$+$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{OB}$=$\frac{3}{2}$$\overrightarrow{{e}_{1}}$+$\frac{3}{2}$$\overrightarrow{{e}_{2}}$．
点评 本题主要考查平面向量基本定理及其几何意义，两个向量的加减法的法则，以及其几何意义，属于中档题．
| A． | $\frac{1}{{e}_{1}}$-$\frac{1}{{e}_{2}}$=1 | B． | $\frac{1}{{e}_{1}}$-$\frac{1}{{e}_{2}}$=2 | C． | $\frac{1}{{{e}_{1}}^{2}}$-$\frac{1}{{{e}_{2}}^{2}}$=1 | D． | $\frac{1}{{{e}_{1}}^{2}}$-$\frac{1}{{{e}_{2}}^{2}}$=2 |