题目内容

13.设数列{an}满足${a_1}+3{a_2}+{3^2}{a_3}+…+{3^{n-1}}a{\;}_n=\frac{n}{3}$,n∈N*
(1)a1,a2
(2)求数列{an}的通项公式;
(3)设bn=$\frac{1}{{{{log}_3}{a_n}•{{log}_3}{a_{n+1}}}}$,求{bn}的前n项和Sn

分析 (1)由题意得a1=$\frac{1}{3}$,a1+3a2=$\frac{2}{3}$;从而求a1,a2
(2)当n≥2时,由${a_1}+3{a_2}+{3^2}{a_3}+…+{3^{n-1}}a{\;}_n=\frac{n}{3}$可得3n-1an=$\frac{1}{3}$;从而解得;
(3)化简bn=$\frac{1}{{{{log}_3}{a_n}•{{log}_3}{a_{n+1}}}}$=$\frac{1}{(-n)(-(n+1))}$=$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$,从而由{bn}的前n项和Sn

解答 解:(1)由题意得,
a1=$\frac{1}{3}$,a1+3a2=$\frac{2}{3}$;
解得,${a_1}=\frac{1}{3},{a_2}=\frac{1}{9}$;
(2)当n≥2时,
${a_1}+3{a_2}+{3^2}{a_3}+…+{3^{n-1}}a{\;}_n=\frac{n}{3}$,①
a1+3a2+32a3+…+3n-2an-1=$\frac{n-1}{3}$,②
①-②得,
3n-1an=$\frac{1}{3}$;
解得:${a_n}={(\frac{1}{3})^n}$;
a1=$\frac{1}{3}$也成立;
故${a_n}={(\frac{1}{3})^n}$.
(3)∵bn=$\frac{1}{{{{log}_3}{a_n}•{{log}_3}{a_{n+1}}}}$=$\frac{1}{(-n)(-(n+1))}$=$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$,
∴Sn=(1-$\frac{1}{2}$)+($\frac{1}{2}$-$\frac{1}{3}$)+…+($\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$)
=1-$\frac{1}{n+1}$=$\frac{n}{n+1}$.

点评 本题考查等比数列的求法及裂项求和法的应用,属于基础题.

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