Question

（2009•闸北区二模）在△ABC中，设a、b、c分别是∠A、∠B、∠C所对的边长，且满足条件c=2，b=2a，则△ABC面积的最大值为（　　）

• A．1
• B．

  3

  2

• C．

  4

  3

• D．2

Answer 1

分析：先利用余弦定理求出cosC的值然后利用三角形面积公式可知S=a²sinC=a²

1-cos2C

，然后化简变形求出S的最大值，注意取最大值时a的值．

解答：解：由公式 c²=a²+b²-2abcosC 和b=2a c=2得
4=a²+4a²-4a²cosC
可推出 cosC=

5a2-4

4a2

=

5

4

-

1

a2

又由公式 S面积=

1

2

absinC 和b=2a 得
S=a²sinC=a²

1-cos2C

=

(a2)2-(a2)2cos2C

=

-9(a2- 20 9 ) 2 16 + 16 9

当a²=

20

9

时，S面积取最大值
S面积最大值=

4

3

此时a=

2 5

3

又 三角形三边 a+b＞c，b-a＜c
所以得 2＞a＞

2

3

所以a=

2 5

3

满足要求
所以S面积最大值=

4

3

．
故选C．

点评：本题主要考查了三角形中的几何计算，同时考查了余弦定理和二次函数的最值等有关基础知识，属于中档题．