Question

已知数列{a_n}的前n项和S_n=-ba_n+1-

1

(1+b)n

，其中b是与n无关的常数，且0＜b＜1，若

lim

n→∞

S_n存在，则 

lim

n→∞

S_n=

 

．

Answer 1

分析：对等式S_n=-ba_n+1-

1

(1+b)n

两边求极限，因0＜b＜1，所以

lim

n→∞

1

(1+b)n

=0，又a_n=S_n-S_n-1，从而求出所求．

解答：解：由S_n=-ba_n+1-

1

(1+b)n

，及

lim

n→∞

S_n存在得

lim

n→∞

S_n=-b

lim

n→∞

a_n+1-

lim

n→∞

1

(1+b)n

，
因0＜b＜1，所以

lim

n→∞

1

(1+b)n

=0，又a_n=S_n-S_n-1
故上式可变为

lim

n→∞

S_n=-b（

lim

n→∞

S_n-

lim

n→∞

S_n-1）+1，

lim

n→∞

S_n=

lim

n→∞

S_n-1，因此  

lim

n→∞

S_n=1
故答案为：1

点评：本题主要考查数列的极限，解题的关键是对整个等式求极限，有一定的难度，属于中档题．