Question

已知奇函数f（x）在x≥0时的图象是如图所示的抛物线的一部分．
（1）补全函数f（x）的图象并写出函数f（x）的表达式；
（2）写出函数f（x）的单调区间；
（3）若方程f（x）=a有三个不同的根，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析：（1）根据奇函数的图象关于原点对称，及已知条件可得函数f（x）的图象，根据函数f（x）的图象顶点坐标及与x轴交点坐标，可得函数的解析式；
（2）由（1）中函数的图象，结合从左到右函数图象上升对应函数的单调递增区间，下降对应函数的单调递减区间，可得函数f（x）的单调区间；
（3）根据（1）中函数的图象，可得方程f（x）=a有三个不同的根，则实数a的值介于函数的最值之间，可得实数a的取值范围．

解答：解：（1）根据奇函数的图象关于原点对称，故函数f（x）的图象如图：
…（3分）
当x≥0时，设解析式是y=a（x-1）²-2，代入（2，0）得a=2，
即y=2=2x（x-1）²=2x²-4x…（5分）
同理求得当x＜0时，设解析式是y=-2x²-4x…（7分）
所以解析式是f(x)=

2x2-4x，x≥0 -2x2-4x，x＜0

…（8分）
（2）由图可得函数f（x）的单调递增区间为（-∞，-1]，[1，+∞）
函数f（x）的单调递减区间为[-1，1]
（3）由图可得y=f（x）与y=a有三个交点时，-2＜a＜2…（10分）
所以方程f（x）=a有三个不同的根，实数a的取值范围是（-2，2）…（12分）

点评：本题考查的知识点是函数的奇偶性，函数的单调性，函数的图象，是函数图象和性质的简单综合，难度不大，属于基础题型．