题目内容
【题目】如图,有一块边长为1(百米)的正方形区域ABCD.在点A处有一个可转动的探照灯,其照射角∠PAQ始终为45°(其中点P,Q分别在边BC,CD上),设BP=t.
(I)用t表示出PQ的长度,并探求△CPQ的周长l是否为定值;
(Ⅱ)设探照灯照射在正方形ABCD内部区域的面积S(平方百米),求S的最大值.
【答案】解:(Ⅰ)由BP=t,得CP=1﹣t,0≤t≤1,
设∠PAB=θ,
则∠DAQ=45°﹣θ,
DQ=tan(45°﹣θ)=,CQ=1﹣
=
,
∴PQ==
=
,
∴l=CP+CQ+PQ=1﹣t++
=1﹣t+1+t=2,是定值
(Ⅱ)S=S正方形ABCD﹣S△ABP﹣S△ADQ=1×1﹣×1×t﹣
×1×
,
=1﹣t﹣
=1﹣
t﹣
(﹣1+
),
=1+﹣
﹣
,
=2﹣(+
),
由于1+t>0,
则S=2﹣(+
)≤2﹣2
=2﹣
,当且仅当
=
,即t=
﹣1时等号成立,
故探照灯照射在正方形ABCD内部区域的面积S最多为2﹣平方百米.
【解析】(Ⅰ)由BP=t,得CP=1﹣t,0≤t≤1,设∠PAB=θ,则∠DAQ=45°﹣θ,分别求出CP,CQ,PQ即可得到求出周长l=2,问题得以解决;
(Ⅱ)根据S=S正方形ABCD﹣S△ABP﹣S△ADQ得到S=2﹣(+
),根据基本不等式的性质即可求出S的最大值.
【考点精析】利用基本不等式在最值问题中的应用对题目进行判断即可得到答案,需要熟知用基本不等式求最值时(积定和最小,和定积最大),要注意满足三个条件“一正、二定、三相等”.
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