题目内容
如图所示,四棱锥SABCD的底面是正方形,每条侧棱的长都是底面边长的倍,P为侧棱SD上的点.
(1)求证:AC⊥SD;
(2)若SD⊥平面PAC,求二面角PACD的大小;
(3)在(2)的条件下,侧棱SC上是否存在一点E,使得BE∥平面PAC?若存在,求SE∶EC的值;若不存在,试说明理由.
(1)证明详见解析;(2)30°;(3)存在 SE∶EC=2∶1
解析试题分析:(1)设AC交BD于O,以 、、分别为S,D,C,
x轴、y轴、z轴的正方向,建立空间直角坐标系,则S,D,C,
求出,的坐标,并计算得到·=0,从而AC⊥SD.(2)为平面PAC的一个法向量,
为平面DAC的一个法向量,向量与的夹角等于二面角PACD的平面角,根据向量的夹角公式计算出与的夹角即可.(3)假设存在一点E使BE∥平面PAC,设=t(0≤t≤1),则=+=+t,因为·=0,可建立关于t的等式,解之即可.
试题解析:(1)证明:连接BD,设AC交BD于O,
由题意知SO⊥平面ABCD,以O为坐标原点,、、分别为
x轴、y轴、z轴的正方向,建立空间直角坐标系.
设底面边长为a,,则高SO=a.于是S,D,C,
=,=,·=0,故OC⊥SD,从而AC⊥SD. 4分
(2)解:由题设知,平面PAC的一个法向量为=,
平面DAC的一个法向量为=,则cos<,>==,
故所求二面角的大小为30°. 8分
(3)解:在棱SC上存在一点E使BE∥平面PAC.,由(2)知是平面PAC的一个法向量,
且=,=, 设=t(0≤t≤1),
=+=+t=,而·=0t=,
即当SE∶EC=2∶1时,BE∥平面PAC. 12分
考点:1.空间两向量垂直的充要条件;2.二面角;3.直线与平面平行判定.
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