题目内容

如图，在四棱锥中，底面是边长为1的菱形，，底面，，为的中点，为的中点，于，如图建立空间直角坐标系.

（1）求出平面的一个法向量并证明平面；
（2）求二面角的余弦值.

（1）证明详见解析；（2）.

解析试题分析：这是一道应用空间向量解决空间平行与空间角问题的试题.（1）先确定、、的坐标，然后设出平面的一个法向量为，由确定的一个取值，最后验证，即可作出平面的判断；（2）先找到的一个法向量为，然后计算，最后结合图形，确定二面角的余弦值是，还是.
试题解析：由题设知：在中，

、、、  4分
（1）    5分
，    6分
设平面的一个法向量为
则
令，得    8分
∵
∴平面           10分
（2）由（1）得平面的法向量，平面的一个法向量为   12分
设二面角的平面角为，则
即二面角的余弦值为           14分.
考点：1.空间向量的解决空间平行中的应用；2.空间向量在解决空间角中的应用.

练习册系列答案
相关题目

如图，在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，点E是棱AB上的动点.

（1）求证：DA1⊥ED1；
（2）若直线DA1与平面CED1成角为45o，求的值；
（3）写出点E到直线D1C距离的最大值及此时点E的位置（结论不要求证明）.

如图,在圆锥PO中,已知PO=,☉O的直径AB=2,C是的中点,D为AC的中点.

求证:平面POD⊥平面PAC.

如图所示,已知空间四边形ABCD的每条边和对角线长都等于1,点E,F,G分别是AB,AD,CD的中点,计算:

(1)·.
(2)EG的长.
(3)异面直线EG与AC所成角的大小.

如图，在四棱锥P­ABCD中，PD⊥平面ABCD，四边形ABCD是菱形，AC＝2，BD＝2，E是PB上任意一点．

(1)求证：AC⊥DE；
(2)已知二面角A­PB­D的余弦值为，若E为PB的中点，求EC与平面PAB所成角的正弦值．

如图，在直三棱柱A1B1C1－ABC中，AB⊥AC，AB＝AC＝2，A1A＝4，点D是BC的中点．

(1)求异面直线A1B与C1D所成角的余弦值；
(2)求平面ADC1与平面ABA1所成二面角的正弦值．

在正三角形ABC中,E、F、P分别是AB、AC、BC边上的点,且满足=== (如图(1)),将△AEF沿EF折起到△EF的位置,使二面角EFB成直二面角,连接B、P(如图(2)).

(1)求证: E⊥平面BEP;
(2)求直线E与平面BP所成角的大小.

如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AA1＝AD＝1，E为CD的中点．

(1)求证：B1E⊥AD1.
(2)在棱AA1上是否存在一点P，使得DP∥平面B1AE？若存在，求AP的长；若不存在，说明理由．
(3)若二面角A－B1E－A1的大小为30°，求AB的长．

如图所示,四棱锥SABCD的底面是正方形,每条侧棱的长都是底面边长的倍,P为侧棱SD上的点.

(1)求证:AC⊥SD;
(2)若SD⊥平面PAC,求二面角PACD的大小;
(3)在(2)的条件下,侧棱SC上是否存在一点E,使得BE∥平面PAC?若存在,求SE∶EC的值;若不存在,试说明理由.

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