题目内容
ABC中，a、b、c分别是角A、B、C的对边，| π |
| 3 |
| π |
| 2 |
| b |
| a-b |
| sin2C |
| sinA-sin2C |
（1）判断△ABC的形状
（2）若|
| BA |
| BC |
| BA |
| BC |
分析：本题考查的知识点是两角和与差的正弦公式，倍角公式，解三角形，平面向量的数量积运算，向量的模等知识点．
（1）要判断△ABC的形状，我们可由
=
，结论正弦定理边角互化的原则，将式子中边全部化为对应角的正弦值，然后根据两角和与差的正弦公式，倍角公式，得到sinB=sin2C，又由因为
＜C＜
，我们易判断三角形的形状．
（2）由|
+
|=2，两边平方后，根据（1）的结论，我们可求出B的表达式及取值范围，进而求出
•
的取值范围．
（1）要判断△ABC的形状，我们可由
| b |
| a-b |
| sin2C |
| sinA-sin2C |
| π |
| 3 |
| π |
| 2 |
（2）由|
| BA |
| BC |
| BA |
| BC |
解答：解：（1）
=
?
=
?sinBsinA-sinBsin2C=sinAsin2C-sinBsin2C
?sinB=sin2C，
因为
＜C＜
，
所以B=π-2C?B+C=π-C?π-A=π-C?A=C
即△ABC为等腰三角形．
（2）因为|
+
|=2?(|
+
|)2=4?a2+c2+2accosB=4又A=C?a=c
所以cosB=
，
而cosB=-cos2C，
＜C＜
所以
＜cosB＜1?1＜a2＜
•
=cacosB=a2cosB=2-a2∈(
，1)
| b |
| a-b |
| sin2C |
| sinA-sin2C |
| sinB |
| sinA-sinB |
| sin2C |
| sinA-sin2C |
?sinBsinA-sinBsin2C=sinAsin2C-sinBsin2C
?sinB=sin2C，
因为
| π |
| 3 |
| π |
| 2 |
所以B=π-2C?B+C=π-C?π-A=π-C?A=C
即△ABC为等腰三角形．
（2）因为|
| BA |
| BC |
| BA |
| BC |
所以cosB=
| 2-a2 |
| a2 |
而cosB=-cos2C，
| π |
| 3 |
| π |
| 2 |
所以
| 1 |
| 2 |
| 4 |
| 3 |
| BA |
| BC |
| 2 |
| 3 |
点评：要根据某个恒成立的三角函数关系式，判断三角形的形状，一般的思路是分析角与角的关系，如果有三个角相等，则为等边三角形；如果只能得到两个角相等，则为普通的等腰三角形；如果两个角和为90°，或一个角为90°，则为直角三角形．
练习册系列答案
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锐角三角形ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，b=4，c=5，面积为5
，求该三角形外接圆半径（ ）
| 3 |
A、
| ||
B、
| ||
C、、2
| ||
D、3
|