Question

在△ABC中，a、b、c分别是角∠A、∠B、∠C所对的边．已知4sinBcos2

B

2

=sin2B+

3

．
（Ⅰ）求∠B的大小；
（Ⅱ）若a=4，△ABC的面积为5

3

，求b的值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）把已知的等式左边利用二倍角的余弦函数公式化简，右边利用二倍角的正弦函数公式化简，即可求出sinB的值，进而求出B的度数；
（Ⅱ）利用三角形的面积公式表示出△ABC的面积，把a，sinB的值代入即可求出c的值，然后由a，c及cosB的值，利用余弦定理即可求出b的值．

解答：解：（Ⅰ）由已知4sinBcos2

B

2

=sin2B+

3

，
可得：2sinB（cosB+1）=2sinBcosB+

3

，即2sinB=

3

，
解得：sinB=

3

2

．
所以，B=

π

3

或B=

2π

3

；（5分）
（Ⅱ）由a=4，sinB=

3

2

，代入

1

2

acsinB=5

3

得：c=5，
由余弦定理得：b²=16+25-2×4×5×cosB=41-40cosB，
当B=

π

3

时，b=

41-40× 1 2

=

21

．
当B=

2π

3

时，b=

41-40×(- 1 2 )

=

61

．（10分）

点评：此题考查学生灵活运用二倍角的正弦、余弦函数公式化简求值，灵活运用同角三角函数间的基本关系及特殊角的三角函数值化简求值，灵活运用三角形的面积公式及余弦定理化简求值，是一道中档题．