Question

13．函数f（x）=$\frac{sinx}{sinx+cosx}$在区间[0，$\frac{π}{2}$]上的最大值与最小值分别是 （　　）

• A． 1，0
• B． $\frac{1}{2}$，0
• C． 0，-1
• D． 1，$\frac{1}{2}$

Answer 1

分析 求出x=0和x=$\frac{π}{2}$时的值，然后分子分母同时除以cosx，转化为含有正切的函数，由tanx在（0，$\frac{π}{2}$）上的范围求得答案．

解答 解：当x=0时，f（x）=$\frac{sinx}{sinx+cosx}$=0；
当x=$\frac{π}{2}$时，f（x）=$\frac{sinx}{sinx+cosx}$=1；
当x≠0且x$≠\frac{π}{2}$时，f（x）=$\frac{sinx}{sinx+cosx}$=$\frac{tanx}{tanx+1}$=$\frac{1}{1+\frac{1}{tanx}}$．
∵x∈（0，$\frac{π}{2}$），∴tanx∈（0，+∞），
则$\frac{1}{tanx}∈$（0，+∞），1+$\frac{1}{tanx}∈$（1，+∞），
∴$\frac{1}{1+\frac{1}{tanx}}∈$（0，1）．
综上，f（x）∈[0，1]．
故选：A．

点评 本题考查三角函数的最值的求法，体现了分类讨论的数学思想方法，注意极限思想的运用，是中档题．