题目内容

4．若△ABC中，内角A、B、C的对边分别为a、b、c，若A=$\frac{2π}{3}$，b=1，且△ABC的面积为$\sqrt{3}$，则$\frac{a+b}{sinA+sinB}$的值为2$\sqrt{7}$．．

分析 由已知及三角形面积公式可求c，再由余弦定理可求a，由正弦定理可求sinB，即可代入求解．

解答 解：∵A=$\frac{2π}{3}$，b=1，且△ABC的面积为$\sqrt{3}$，
∴sinA=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，cosA=-$\frac{1}{2}$，$\sqrt{3}$=$\frac{1}{2}×1×c×\frac{\sqrt{3}}{2}$，可解得：c=4，
∴由余弦定理可得：a2=b2+c2-2bccosA=1+16+4=21，可得a=$\sqrt{21}$，
∴由正弦定理可得：sinB=$\frac{bsinA}{a}$=$\frac{\frac{\sqrt{3}}{2}}{\sqrt{21}}$=$\frac{\sqrt{3}}{2\sqrt{21}}$，
∴$\frac{a+b}{sinA+sinB}$=$\frac{\sqrt{21}+1}{\frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2\sqrt{21}}}$=2$\sqrt{7}$．
故答案为：2$\sqrt{7}$．

点评 本题主要考查了三角形面积公式，余弦定理，正弦定理的应用，属于基本知识的考查．

练习册系列答案
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16．函数y=cosπx，那么x∈（0，3）内的对称中心个数是3．
16．设f′（x）为f（x）的导函数，f″（x）是f′（x）的导函数，如果f（x）同时满足下列条件：①存在x0，使f″（x0）=0；②存在?＞0，使f′（x）在区间（x0-?，x0）单调递增，在区间（x0，x0+?）单调递减．则称x0为f（x）的“上趋拐点”；
如果f（x））同时满足下列条件：①存在x0，使f″（x0）=0；②存在?＞0，使f′（x）在区间（x0-?，x0）单调递减，在区间（x0，x0+?）单调递增．则称x0为f（x）的“下趋拐点”．给出以下命题，其中正确的是①③④（只写出正确结论的序号）
①0为f（x）=x3的“下趋拐点”；
②f（x）=x2+ex在定义域内存在“上趋拐点”；
③f（x）=ex-ax2在（1，+∞）上存在“下趋拐点”，则a的取值范围为（$\frac{e}{2}$，+∞）；
④f（x）=$\frac{1}{a}$eax$-\frac{1}{2}$x2（a≠0），x0是f（x）的“下趋拐点”，则x0＞1的必要条件是0＜a＜1．
12．在△ABC中，AB=3AC=3，AD是∠A的内角平分线，交BC于点D，$\frac{BD}{DC}$=3且AD=m，则实数m的取值范围（0，$\frac{3}{2}$）．
19．已知数列{an}为等差数列，m，n，p，q都是正整数，则“am+an=ap+aq”是“m+n=p+q”的（　　）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件

的展开式的常数项为____________．
15．椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1、F2，点P（1，$\frac{1}{2}$）作圆x2+y2=1的切线，切点分别为A、B，直线AB恰好经过椭圆的右焦点和上顶点．
（1）求椭圆C的方程；
（2）过点Q（-5，0）作一直线l交椭圆C于M、N两点，记$\overrightarrow{MQ}$=λ$\overrightarrow{QN}$，线段MN上的点R满足$\overrightarrow{MR}$=-λ$\overrightarrow{RN}$，求点R的轨迹方程．
12．在直角坐标系xOy中，已知点P（1，-2），直线l的参数方程是$\left\{\begin{array}{l}x=1+t\\ y=-2+\sqrt{3}t\end{array}\right.$（t为参数），以O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，圆C的极坐标方程是$ρ=2\sqrt{2}cos（θ+\frac{π}{4}）$．
（Ⅰ）将圆C的极坐标方程化为直角坐标方程，并写出圆心的极坐标
（Ⅱ）若直线l与圆C交于M、N两点，求|MP|+|NP|的值．
13．已知集合A={1，2，3，4}，B={x|x=$\sqrt{n}$，n∈A}，则A∩B=（　　）
A．{1，2，3}B．{1，$\sqrt{2}$，$\sqrt{3}$，2}C．{1，2}D．{1}

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