Question

在球面上有四个点P、A、B、C，若PA、PB、PC两两垂直，且PA=PB=PC=a，求这个球的体积和表面积．

Answer 1

分析：由题意三棱锥是正方体的一个角，它的外接球就是三棱锥扩展为正方体的外接球，正方体的体对角线就是外接球的直径，求出直径即可求出这个球的体积和表面积．

解答：解：三棱锥是正方体的一个角，它的外接球就是三棱锥扩展为正方体的外接球，正方体的体对角线就是外接球的直径，
所以正方体的体对角线长为：

3

a，球的半径为：

3 a

2

；
所以球的体积为：

4π

3

r3 =

4π

3

×(

3 a

2

)3=

3

2

a3π
球的表面积为：4πr²=4π(

3 a

2

)2=3πa2．

点评：本题是基础题，考查三棱锥的外接球，几何体的扩展，确定三棱锥与扩展的正方体的外接球是同一个，以及正方体的体对角线就是球的直径是解好本题的前提．