Question

9．已知f（x）=（1+x）^m，g（x）=（1+5x）ⁿ（m，n∈N^*）
（1）若m=4，n=5时，求f（x）•g（x）的展开式中含x²的项；
（2）若h（x）=f（x）+g（x），且h（x）的展开式中含x的项的系数为24，那么当m，n为何值时，h（x）的展开式中含x²的项的系数取得最小值？
（3）若（1+5x）ⁿ（n≤10，n∈N^*）的展开式中，倒数第2、3、4项的系数成等差数列，求（1+5x）ⁿ的展开式中系数最大的项．

Answer 1

分析 （1）利用f（x），g（x）的二项展开式，即可求f（x）•g（x）的展开式中含x²的项；
（2）先确定m=24-5n，再求h（x）的展开式中含x²的项的系数取得最小值；
（3）利用（1+5x）ⁿ（n≤10，n∈N^*）的展开式中，倒数第2、3、4项的系数成等差数列，求出n=7，再求（1+5x）ⁿ的展开式中系数最大的项．

解答 解：（1）当m=4，n=5 时，$f（x）={（{1+x}）^4}=C_4^0{x^0}+C_4^1{x^1}+C_4^2{x^2}+C_4^3{x^3}+C_4^4{x^4}$ …1分 $g（x）={（{1+5x}）^5}=C_5^0{（5x）^0}+C_5^1{（5x）^1}+$ …+$C_5^5{（5x）^5}$ …2分
则f（x）•g（x） 的展开式中含x² 的项为：$（{C_4^2•{5^0}C_5^0+C_4^1•5C_5^1+C_4^0•{5^2}C_5^2}）{x^2}$，
即f（x）•g（x） 的展开式中含x² 的项为：356x² …4分
（2）因为h（x）=f（x）+g（x），且h（x）的展开式中含x 的项的系数为24，
则$C_m^1+5C_n^1=24$，即m=24-5n （其中1≤n≤4，n∈N^* ），
又h（x）的展开式中含x² 的项的系数为：$C_m^2+{5^2}C_n^2=\frac{m（m-1）}{2}+\frac{25n（n-1）}{2}$
=$\frac{（24-5n）（23-5n）}{2}+\frac{25n（n-1）}{2}=25{n^2}-130n+276$ …6分
=$25{（n-\frac{13}{5}）^2}+107$ （其中1≤n≤4，n∈N^* ），
又因为$|{2-\frac{13}{5}}|＞|{3-\frac{13}{5}}|$，…8分
所以当n=3时，（此时m=9）h（x）的展开式中含x²的项的系数取得最小值为111 …10分
（3）在（1+5x）ⁿ（n≤10，n∈N^*） 的展开式中，倒数第2、3、4 项的系数分别为：$C_n^{n-1}•{5^{n-1}}，C_n^{n-2}•{5^{n-2}}，C_n^{n-3}•{5^{5-3}}$，
又因为倒数第2、3、4 项的系数成等差数列，所以$2C_n^{n-2}•{5^{n-2}}=C_n^{n-1}•{5^{n-1}}+C_n^{n-3}•{5^{n-3}}$，…11分
整理得：n²-33n+182=0，解之得：n=7或n=26
又因为（n≤10，n∈N^*），所以n=7，n=26 （不合题意舍去） …13分
设二项式（1+5x）⁷ 的展开式中系数最大的项为第r+1 项（即${T_{r+1}}=C_7^r{（{5x}）^r}$ ），
则 $\left\{\begin{array}{l}C_7^{r-1}•{5^{r-1}}≤C_7^r•{5^r}\\ C_7^{r+1}•{5^{r+1}}≤C_7^r•{5^r}\end{array}\right.$，整理并解之得：$\frac{17}{3}≤r≤\frac{20}{3}$，
又因为（n≤10，n∈N^*），所以r=6，…15分
即（1+5x）ⁿ的展开式中系数最大的项为${T_7}=C_7^6{（{5x}）^6}=109375{x^6}$，…16分

点评 本题考查求（1+5x）ⁿ的展开式中系数最大的项，考查二项式定理的运用，考查学生分析解决问题的能力，有难度．