题目内容

如图,两个圆形飞轮通过皮带传动,大飞轮O1的半径为2r(r为常数),小飞轮O2的半径为r,O1O2=4r.在大飞轮的边缘上有两个点A,B,满足∠BO1A=,在小飞轮的边缘上有点C.设大飞轮逆时针旋转,传动开始时,点B,C在水平直线O1O2上.

(1)求点A到达最高点时A,C间的距离;
(2)求点B,C在传动过程中高度差的最大值.
(1)·r.    (2)r.
解:(1)以O1为坐标系的原点,O1O2所在直线为x轴,建立如图所示的直角坐标系.当点A到达最高点时,点A绕O1转过,则点C绕O2转过.
此时A(0,2r),C(r,r).
∴AC=·r.

(2)由题意,设大飞轮转过的角度为θ,
则小飞轮转过的角度为2θ,其中θ∈[0,2π].
此时B(2rcos θ,2rsin θ),C(4r+rcos 2θ,rsin 2θ).
记点B,C的高度差为d,则d=|2rsin θ-rsin 2θ|,
即d=2r|sin θ-sin θcos θ|.
设f(θ)=sin θ-sin θcos θ,θ∈[0,2π],
则f′(θ)=(1-cos θ)(2cos θ+1).
令f′(θ)=(1-cos θ)(2cos θ+1)=0,得cos θ=-或1,则θ=,0或2π.
f(θ)和f′(θ)随θ的变化情况如下表:
θ
0






f′(θ)
 

0

0

 
f(θ)
0
?
极大值
f
?
极小值
f
?
0
 
∴当θ=时,f(θ)取得极大值;当θ=时,f(θ)取得极小值-.
综上所述,点B,C在传动过程中高度差的最大值dmaxr.
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