Question

若向量m=(sinωx,0),n=(cosωx,-sinωx)(ω>0),在函数f(x)=
m·(m+n)+t的图象中,对称中心到对称轴的最小距离为,且当x∈[0,]时,f(x)的最大值为1.
(1)求函数f(x)的解析式.
(2)求函数f(x)的单调递增区间.

Answer 1

(1) f(x)=sin(2x-)-   (2) [kπ-,kπ+π](k∈Z)

(1)由题意得f(x)=m·(m+n)+t=m²+m·n+t
=3sin²ωx+sinωx·cosωx+t
=-cos2ωx+sin2ωx+t
=sin(2ωx-)++t.
∵对称中心到对称轴的最小距离为,
∴f(x)的最小正周期为T=π.
∴=π,∴ω=1.
∴f(x)=sin(2x-)++t,
当x∈[0,]时,2x-∈[-,],
∴当2x-=,
即x=时,f(x)取得最大值3+t.
∵当x∈[0,]时,f(x)_max=1,
∴3+t=1,∴t=-2,
∴f(x)=sin(2x-)-.
(2)由(1)知f(x)=sin(2x-)-.
2kπ-≤2x-≤2kπ+,k∈Z,
2kπ-≤2x≤2kπ+π,kπ-≤x≤kπ+π,
∴函数f(x)的单调递增区间为[kπ-,kπ+π](k∈Z).