Question

如图，△ABC是形状为正三角形的一块地，为了绿化需要现在线段AB上取一点P，在AC上取一点Q，用直线段或折线段或曲线段连接PQ，将△ABC分为面积相等的两块地，分别种上两种花草．
（1）如果用直线段连接PQ，那么当P、Q处于什么位置时，线段PQ的长度最小？
（2）请你设计连接PQ的一种方式，使得连接PQ的长度比（1）中计算的长度更小．

Answer 1

分析：（1）设AP=a，AQ=b，正三角形的边长为c，根据PQ将△ABC分为面积相等的两块地，可得ab=

1

2

c2，利用基本不等式可求PQ的最小值；
（2）若AP为圆弧，则设AP=a，PQ=

π

3

a，根据PQ将△ABC分为面积相等的两块地，可求弧PQ的长度，比较可得答案．

解答：解：（1）设AP=a，AQ=b，正三角形的边长为c，则
∵PQ将△ABC分为面积相等的两块地
∴ab=

1

2

c2
∴PQ2=a2+b2-ab≥ab=

1

2

c2
当且仅当a=b=

2

2

c时，PQ取得最小为

2

2

c，此时AP=AQ=

2

2

AB
（2）若AP为圆弧，则设AP=a，PQ=

π

3

a，
∵PQ将△ABC分为面积相等的两块地
∴

1

6

πa2=

3

8

c2
∴a2=

3 3

4π

c2
∴PQ2=

3 π

12

c2＜

1

2

c2
故满足题意．

点评：本题以实际问题为载体，考查优化设计，考查了基本不等式的运用，考查扇形的弧长及面积公式．