题目内容
如图，△ABC是形状为正三角形的一块地，为了绿化需要现在线段AB上取一点P，在AC上取一点Q，用直线段或折线段或曲线段连接PQ，将△ABC分为面积相等的两块地，分别种上两种花草．
（1）如果用直线段连接PQ，那么当P、Q处于什么位置时，线段PQ的长度最小？
（2）请你设计连接PQ的一种方式，使得连接PQ的长度比（1）中计算的长度更小．
解：（1）设AP=a，AQ=b，正三角形的边长为c，则
∵PQ将△ABC分为面积相等的两块地
∴
∴
当且仅当a=b=
时，PQ取得最小为，此时
（2）若AP为圆弧，则设AP=a，PQ=
a，
∵PQ将△ABC分为面积相等的两块地
∴
∴
∴
＜
故满足题意．
分析：（1）设AP=a，AQ=b，正三角形的边长为c，根据PQ将△ABC分为面积相等的两块地，可得，利用基本不等式可求PQ的最小值；
（2）若AP为圆弧，则设AP=a，PQ=
a，根据PQ将△ABC分为面积相等的两块地，可求弧PQ的长度，比较可得答案．
点评：本题以实际问题为载体，考查优化设计，考查了基本不等式的运用，考查扇形的弧长及面积公式．
∵PQ将△ABC分为面积相等的两块地
∴
∴
当且仅当a=b=
时，PQ取得最小为，此时（2）若AP为圆弧，则设AP=a，PQ=
a，∵PQ将△ABC分为面积相等的两块地
∴
∴
∴
＜故满足题意．
分析：（1）设AP=a，AQ=b，正三角形的边长为c，根据PQ将△ABC分为面积相等的两块地，可得
，利用基本不等式可求PQ的最小值；（2）若AP为圆弧，则设AP=a，PQ=
a，根据PQ将△ABC分为面积相等的两块地，可求弧PQ的长度，比较可得答案．点评：本题以实际问题为载体，考查优化设计，考查了基本不等式的运用，考查扇形的弧长及面积公式．
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