题目内容
【题目】如图,已知三棱锥中,平面
平面ABC,
,
,BD=3,AD=1,AC=BC,M为线段AB的中点.
(Ⅰ)求证:平面ACD;
(Ⅱ)求异面直线MD与BC所成角的余弦值;
(Ⅲ)求直线MD与平面ACD所成角的余弦值.
【答案】(Ⅰ)详见解析;(Ⅱ);(Ⅲ)
.
【解析】
(Ⅰ)由题意结合几何关系可得,结合
,和线面垂直的判定定理即可证得题中的结论;
(Ⅱ)取AC中点N,连接MN,DN,易知(或其补角)为异面直线MD与BC所成的角,据此结合几何性质可得异面直线MD与BC所成角的余弦值.
(Ⅲ)结合(Ⅱ)可知为直线MD与平面ACD所成的角,据此可得线面角的余弦值.
(Ⅰ)∵平面平面ABC于AB,
,
平面ABD,
∴平面ABC,
∴,又
,
,
∴平面ACD.
(Ⅱ)取AC中点N,连接MN,DN,
∵M是AB中点,
∴,
∴(或其补角)为异面直线MD与BC所成的角,
由(Ⅰ)知平面ACD,
∴平面ACD,
,
在中,
,
,
∴,
即异面直线MD与BC所成角的余弦值为.
(Ⅲ)由(Ⅱ)为直线MD与平面ACD所成的角,在
中,
,
∴.
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