题目内容
(本小题满分12分)已知函数.
(1)设a>0,若函数在区间
上存在极值,求实数a的取值范围;
(2)如果当x1时,不等式
恒成立,求实数k的取值范围.
【答案】
(1);(2)
.
【解析】(1)先利用导数求出极值点,然后根据极值点在区间内,建立关于a的不等式,然后解不等式即可解决.
(2)解决本题的关键是把不等式恒成立问题转化为
恒成立,然后构造函数
,利用导数求g(x)的最小值,然后满足
即可解决此问题.
解:(1)因为,则
…………………1分
当时,
;当
时,
.
所以在
上单调递增,在
上单调递减.
所以在
处取得极大值.…………………3分
因为在区间
(其中
)上存在极值,
所以,解得
.…………………6分
(2)不等式,即
.
设,则
. 令
,则
.
因为,所以
,则
在
上单调递增.…………………9分
所以得最小值为
,从而
,
故在
上单调递增,所以
得最小值为
,
所以,解得
.…………………12分

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