Question

已知函数f（x）=ax³+

1

2

sinθx²-2x+c的图象经过点(1，

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)，且在区间（-2，1）上单调递减，在[1，+∞）上单调递增．
（1）证明sinθ=1；
（2）求f（x）的解析式；
（3）若对于任意的x₁，x₂∈[m，m+3]（m≥0），不等式|f（x₁）-f（x₂）|≤

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恒成立，试问：这样的m是否存在，若存在，请求出m的范围；若不存在，说明理由．

Answer 1

分析：（1）根据f（x）的解析式求出f（x）的导函数，根据函数f（x）在区间（-2，1）上单调递减，在[1，+∞）上单调递增得到f′（1）=0且f′（-2）≤0，代入导函数分别得到两个关系式记作①和②，由①求出a等于一个关系式，把这个关系式代入②得到sinθ大于等于1，根据正弦函数的值域得到sinθ等于1；
（2）将sinθ的值代入①即可求出a的值，把a的值代入到f（x）中，又因为函数f（x）图象经过点(1，

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)，即f（1）=

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，代入即可求出c的值，即可得到f（x）的解析式；
（3）把a和sinθ的值代入导函数中确定出导函数的解析式，根据导函数的正负得到函数的单调区间，然后分m大于1和m大于等于0小于等于1时，根据函数的单调区间分别求出函数的最小值和最大值，利用最大值和最小值得到|f（x₁）-f（x₂）|的最大值，|f（x₁）-f（x₂）|的最大值小于等于

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2

列出关于m的范围即可求出满足题意的m的范围．

解答：解：（1）∵f'（x）=3ax²+（sinθ）x-2
由题设可知

f′(1)=0 f′(-2)≤0

即

3a+sinθ-2=0 ① 12a-2sinθ-2≤0②

由①得：a=

2-sinθ

3

，代入②得：12×

2-sinθ

3

-2sinθ-2≤0，
化简得：sinθ≥1，
∴sinθ=1；

（2）将sinθ=1代入①式得：a=

1

3

，则f（x）=

1

3

x³+

1

2

x²-2x+c，
而又由f（1）=

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6

，代入得c=

22

3

，
∴f（x）=

1

3

x³+

1

2

x²-2x+

22

3

即为所求；

（3）f′（x）=x²+x-2=（x+2）（x-1）
易知f（x）在（-∞，-2）及（1，+∞）上均为增函数，在（-2，1）上为减函数．
（i）当m＞1时，f（x）在[m，m+3]上递增．故f（x）max=f（m+3），f（x）min=f（m）
由f（m+3）-f（m）=

1

3

（m+3）³+

1

2

（m+3）²-2（m+3）-

1

3

m³-

1

2

m²+2m
=3m2+12m+

15

2

≤

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2

，得-5≤m≤1．这与条件矛盾故舍去；
（ii）当0≤m≤1时，f（x）在[m，1]上递减，在[1，m+3]上递增，
∴f（x）min=f（1），f（x）max={f（m），f（m+3）}max，
又f（m+3）-f（m）=3m²+12m+

15

2

=3（m+2）²-

9

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＞0（0≤m≤1）
∴f（x）max=f（m+3）
∴|f（x₁）-f（x₂）|≤f（x）max-f（x）min=f（m+3）-f（1）≤f（4）-f（1）=

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恒成立，
故当0≤m≤1原式恒成立．
综上：存在m且m∈[0，1]合乎题意．

点评：此题考查学生会利用导函数的正负判断函数的单调性，掌握正弦函数的值域及会利用待定系数法求函数的解析式，掌握导数在最值问题中的应用，是一道综合题．