Question

已知数列{a_n}是递增数列，且满足a₃•a₅=16，a₂+a₆=10．
（1）若{a_n}是等差数列，求数列{a_n}的前7项和S₇；
（2）若{a_n}是等比数列，令bn=

a2n

3

，求数列{b_n}的通项公式；
（3）对于（1）中的{a_n}与（2）中的{b_n}，令c_n=（a_n+7）b_n，求数列{c_n}的前n项和T_n．

Answer 1

分析：（1）根据题意：a₂+a₆=10=a₁+a₇，由此得S7=

7(a1+a7)

2

的值．
（2）根据题意：a₂+a₆=10，a₃•a₅=16=a₂+a₆，解得a₂=2，a₆=8，求出它的通项公式 an=a2qn-2=(

2

)n，由bn=

a2n

3

，求数列{b_n}的通项公式．
（3）对于（1）中的{a_n}，a_n=3n-7，再由（2）得 bn=

2n

3

，故 c_n=n•2ⁿ，用错位相减法求数列{a_n} 的前n项和 T_n 的值．

解答：解：（1）根据题意：a₂+a₆=10=a₁+a₇，由此得S7=

7(a1+a7)

2

=35．…（4分）
（2）根据题意：a₂+a₆=10，a₃•a₅=16=a₂+a₆，知：a₂，a₆是方程x²-10x+16=0的两根，
且a₂＜a₆，解得a₂=2，a₆=8，故得其公比为q=

4	a6 a2

=

2

，
故an=a2qn-2=(

2

)n，bn=

2n

3

．…（4分）
（3）对于（1）中的{a_n}，由a₃ +a₅=a₂+a₆=10，a₃•a₅=16，
可得a₃ =2，a₅=8，设公差为d，则 8=2+2d，d=3，故 a₁ =-4．
得a_n=-4+（n-1）×3=3n-7，再由（2）得 bn=

2n

3

，故 c_n=n•2ⁿ，…（11分）
用错位相减法求数列{a_n} 的前n项和 T_n ．
T_n=1×2¹+2×2²+…+（n-1）•2^n-1+n•2ⁿ，
2T_n=1×2²+2×2³+…+（n-1）•2ⁿ+n•2ⁿ⁺¹，
T_n=n•2ⁿ⁺¹-（2¹+2²+2³+…+2ⁿ）=（n-1）2ⁿ⁺¹+2．…（13分）

点评：本题主要考查等差数列的定义和性质，等差数列的通项公式，等比数列的定义和性质，等比数列的通项公式，用错位相减法求数列前n项和，属于中档题．