Question

已知动⊙M经过点D（-2，0），且与圆C：x²+y²-4x=0外切．
（1）求点M的轨迹方程；
（2）记半径最小的圆为⊙M，直线l与⊙M相交于A，B两点，且⊙M上存在点P，使得（λ≠0）
①求⊙M的方程；
②求直线l的方程及相应的点P坐标．

Answer 1

【答案】分析：（1）利用两圆相外切的条件，结合双曲线的定义，求出双曲线的方程．
（2）①MD的最小值为c-a=1，且M（-1，0）写出方程．
②先求出点P坐标表达式，代入⊙M方程，求出点P的坐标，判断MAPB是菱形，求出AB斜率，及MP的中点，点斜式写出直线l的方程．
解答：解：（1）圆C半径R=2，圆心C（2，0），（1分）由题意可得，MC=MD+2，MC-MD=2＜CD=4，（3分）
∴点M的轨迹是以C，D为焦点的双曲线的左支，其中2a=2，2c=4，∴a=1，c=2，∴b²=3．（5分）
∴点M的轨迹方程为 ．（6分）
（2）①∵MD的最小值为c-a=1，且M（-1，0），∴⊙M的方程为（x+1）²+y²=1．（8分）
②由，把点P（λ，3λ）代入⊙M：（x+1）²+y²=1，
解得，（10分）∴，且．（12分）
∵，且，∴MAPB是菱形． （13分）
∴，∴．
又MP的中点为，∴直线，
即 ．（15分）
点评：本题考查轨迹方程的求法，直线和圆位置关系的综合应用，属于中档题．