题目内容
已知动⊙M经过点D（-2，0），且与圆C：x2+y2-4x=0外切．
（1）求点M的轨迹方程；
（2）记半径最小的圆为⊙M0，直线l与⊙M0相交于A，B两点，且⊙M0上存在点P，使得
（λ≠0）
①求⊙M0的方程；
②求直线l的方程及相应的点P坐标．
解：（1）圆C半径R=2，圆心C（2，0），由题意可得，MC=MD+2，MC-MD=2＜CD=4，
∴点M的轨迹是以C，D为焦点的双曲线的左支，其中2a=2，2c=4，∴a=1，c=2，∴b2=3．
∴点M的轨迹方程为
．
（2）①∵MD的最小值为c-a=1，且M（-1，0），∴⊙M0的方程为（x+1）2+y2=1．
②由
，把点P（λ，3λ）代入⊙M：（x+1）2+y2=1，
解得
，（10分）∴
，且
．
∵
，且
，∴M0APB是菱形．
∴
，∴
．
又M0P的中点为
，∴直线
，
即
．
分析：（1）利用两圆相外切的条件，结合双曲线的定义，求出双曲线的方程．
（2）①MD的最小值为c-a=1，且M（-1，0）写出方程．
②先求出点P坐标表达式，代入⊙M方程，求出点P的坐标，判断M0APB是菱形，求出AB斜率，及M0P的中点，点斜式写出直线l的方程．
点评：本题考查轨迹方程的求法，直线和圆位置关系的综合应用，属于中档题．
∴点M的轨迹是以C，D为焦点的双曲线的左支，其中2a=2，2c=4，∴a=1，c=2，∴b2=3．
∴点M的轨迹方程为
．（2）①∵MD的最小值为c-a=1，且M（-1，0），∴⊙M0的方程为（x+1）2+y2=1．
②由
，把点P（λ，3λ）代入⊙M：（x+1）2+y2=1，解得
，（10分）∴，且．∵
，且，∴M0APB是菱形． ∴
，∴．又M0P的中点为
，∴直线，即
．分析：（1）利用两圆相外切的条件，结合双曲线的定义，求出双曲线的方程．
（2）①MD的最小值为c-a=1，且M（-1，0）写出方程．
②先求出点P坐标表达式，代入⊙M方程，求出点P的坐标，判断M0APB是菱形，求出AB斜率，及M0P的中点，点斜式写出直线l的方程．
点评：本题考查轨迹方程的求法，直线和圆位置关系的综合应用，属于中档题．
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智趣寒假作业云南科技出版社系列答案
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