Question

在数列{a_n}中,若a₁、a₂是正整数，且a_n=|a_n-1-a_n-2|,n=3,4,5,…,则称{a_n}为“绝对差数列”.

(1)举出一个前五项不为零的“绝对差数列”（只要求写出前十项）；

（2）若“绝对差数列”{a_n}中，a₂₀=3,a₂₁=0.数列{b_n}满足b_n=a_n+a_n+1+a_n+2,n=1,2,3,…,分别判断当n→∞时，a_n与b_n的极限是否存在，如果存在，求出其极限值；

（3）求证:任何“绝对差数列”中总含有无穷多个为零的项.

Answer 1

分析：本题以提出一个新概念的方式来考查数列的概念及极限的问题，背景新颖.

解：（1）a₁=3,a₂=1,a₃=2,a₄=1,a₅=1,a₆=0,a₇=1,a₈=1,a₉=0,a₁₀=1.

(答案不唯一)

（2）因为在绝对差数列{a_n}中，a₂₀=3,a₂₁=0,所以自第20项开始，该数列是a₂₀=3,a₂₁=0,a₂₂=3,a₂₃=3,a₂₄=0,a₂₅=3,a₂₆=3,a₂₇=0,…,即自第20项开始，每三个相邻的项周期地取值3，0，3.

所以当n→∞时，a_n的极值不存在.

当n≥20时，b_n=a_n+a_n+1+a_n+2=6.

所以b_n=6.

(3)证明：根据定义，数列{a_n}必在有限项后出现零项，证明如下（用反证法）：

假设{a_n}中没有零项，由于a_n=|a_n-1-a_n-2|,所以对于任意的n都有a_n≥1,从而

当a_n-1＞a_n-2时，a_n=a_n-1-a_n-2≤a_n-1-1(n≥3);

当a_n-1＜a_n-2时，a_n=a_n-2-a_n-1≤a_n-2-1(n≥3),

即a_n的值要么比a_n-1至少小1，要么比a_n-2至少小1.

令c_n=n=1,2,3,…,

则0＜c_n≤c_n-1-1(n=2,3,4,…).由于a_n是确定的正整数,这样减少下去,必然存在某项c_k＜0,这与c_n＞0(n=1,2,3,…)矛盾，从而{a_n}必有零项.

若第一次出现的零项为第n项，记a_n-1=A(A≠0),则自第n项开始，每三个相邻的项周期地取值0、A、A，即

所以绝对差数列{a_n}中有无穷多个为零的项.

绿色通道:

在用反证法证题时，常用的主要矛盾为：与假设矛盾,与数学公理、定理、公式、定义或已被证明了的结论相矛盾，与公认的事实相矛盾.