Question

S_n是无穷等比数列{a_n}的前n项和，公比q≠1，已知1是

1

2

S₂和

1

3

S₃的等差中项，6是2S₂和3S₃的等比中项．
（1）求S₂和S₃的值；
（2）求此数列的通项公式；
（3）求此数列的各项和S．

Answer 1

分析：（1）直接根据1是

1

2

S₂和

1

3

S₃的等差中项，6是2S₂和3S₃的等比中项列出关于S₂和S₃的方程，解方程组即可求值；
（2）结合第一问的结果求出首项和公比，进而求出通项；
（3）直接根据其公比的绝对值的范围，代入公式即可．

解答：解：（1）由题得：

1 2 s2+  1 3 s3=2 2s2•3s3=36

⇒s₂=2，s₃=3．
（2）由

a1+a1q=2 a1+a1q+a1q2=3

⇒

a1=4 q=- 1 2

或

a1=1 q=1

（舍）．
∴a_n=4•（-

1

2

）^n-1．
（3）∵|q|=|-

1

2

|=

1

2

＜1．
∴s=

a1

1-q

=

4

1- (- 1 2 )

=

8

3

．

点评：本题主要考察等差数列和等比数列的综合问题．解决这类题目的关键在于能熟练运用等差数列和等比数列的性质．