Question

如图，直线与抛物线y²=2px（p＞0）交于A、B两点，且OA⊥OB，OD⊥AB于D，若点D的坐标为（2，1），则p的值等于

 

．

Answer 1

考点：抛物线的应用

专题：计算题,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：利用OD⊥AB，可求直线AB的方程，与抛物线方程联立，利用韦达定理，结合OA⊥OB，利用向量的数量积公式，即可求出p的值．

解答： 解：∵OD⊥AB，∴k_OD•k_AB=-1．
又k_OD=

1

2

，∴k_AB=-2，
∴直线AB的方程为y=-2x+5．
设A（x₁，x₂），B（x₂，y₂），则x₁x₂+y₁y₂=0，
又x₁x₂+y₁y₂=x₁x₂+（-2x₁+5）（-2x₂+5）=5x₁x₂-10（x₁+x₂）+25
联立方程，消y可得4x²-（20+2p）x+25=0①
∴x₁+x₂=

10+p

2

，x₁x₂=

25

4

，
∴x₁x₂+y₁y₂=5×

25

4

-10×

10+p

2

+25=0，
∴p=

5

4

，
当p=

5

4

时，方程①成为8x²-45x+50=0显然此方程有解．
∴p=

5

4

，
故答案为：

5

4

．

点评：本题考查抛物线方程，考查直线与抛物线的位置关系，正确运用韦达定理是关键．