Question

9．椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}=1（a＞b＞0）$的离心率与双曲线x²-y²=1的离心率互为倒数，且C过点P（$\sqrt{2}，1$）．
（1）求C的方程；
（2）若C的左右焦点分别为F₁，F₂，过F₁的直线l与C相交于A，B两点，求△F₂AB面积的最大值．

Answer 1

分析 （1）求出双曲线的离心率，可得椭圆的离心率，再由P满足椭圆方程，解方程可得a，b，进而得到椭圆方程；
（2）设直线l的倾斜角为θ，当θ≠$\frac{π}{2}$时，求出△ABF₂的面积，当θ=$\frac{π}{2}$时，求出△ABF₂的面积，比较得出△ABF₂面积的最大值．

解答 解：（1）双曲线x²-y²=1的离心率为$\sqrt{2}$，
由离心率互为倒数，可得椭圆的离心率为e=$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
由C过点P（$\sqrt{2}，1$），可得$\frac{2}{{a}^{2}}$+$\frac{1}{{b}^{2}}$=1，
又a²-b²=c²，
解方程可得a=2，b=c=$\sqrt{2}$，
可得椭圆方程为$\frac{{x}^{2}}{4}$+$\frac{{y}^{2}}{2}$=1；
（2）设直线l的倾斜角为θ，当θ≠$\frac{π}{2}$时，不妨设θ∈（0，$\frac{π}{2}$），
∴l的方程是y=tanθ（x+$\sqrt{2}$），
∴$\left\{\begin{array}{l}{y=tanθ（x+\sqrt{2}）}\\{{x}^{2}+2{y}^{2}=4}\end{array}\right.$，
∵tanθ≠0，消去x，得$\frac{1+2ta{n}^{2}θ}{ta{n}^{2}θ}$y²-$\frac{2\sqrt{2}}{tanθ}$y-2=0，
∴y₁+y₂=$\frac{2\sqrt{2}tanθ}{1+2ta{n}^{2}θ}$，y₁y₂=-$\frac{2ta{n}^{2}θ}{1+2ta{n}^{2}θ}$，
∴|y₁-y₂|=$\sqrt{（{y}_{1}+{y}_{2}）^{2}-4{y}_{1}{y}_{2}}$=
$\sqrt{\frac{8ta{n}^{2}θ}{（1+2ta{n}^{2}θ）^{2}}+\frac{8ta{n}^{2}θ}{1+2ta{n}^{2}θ}}$=$\frac{4tanθ•\frac{1}{cosθ}}{1+2ta{n}^{2}θ}$=$\frac{4sinθ}{1+si{n}^{2}θ}$
=$\frac{4}{sinθ+\frac{1}{sinθ}}$，
∵θ∈（0，$\frac{π}{2}$），
∴sinθ+$\frac{1}{sinθ}$＞2，
∴|y₁-y₂|＜2，
∴${S}_{△AB{F}_{2}}$=$\frac{1}{2}$•2c|y₁-y₂|＜$\frac{1}{2}$×2$\sqrt{2}$×2=2$\sqrt{2}$；
当θ=$\frac{π}{2}$时，|AB|=2•$\frac{{b}^{2}}{a}$=2×$\frac{2}{2}$=2，
∴∴${S}_{△AB{F}_{2}}$=$\frac{1}{2}$|AB|•2c=$\frac{1}{2}$×2$\sqrt{2}$×2=2$\sqrt{2}$；
综上，△ABF₂面积的最大值为2$\sqrt{2}$．

点评 本题考查了椭圆的定义，计算三角形面积的应用问题，基本不等式的运用问题等知识点，是中档题．