Question

如图，四棱锥A-BCDE中，△ABC是正三角形，四边形BCDE是矩形，且平面ABC⊥平面BCDE，AB=2，AD=4．
（Ⅰ） 若点G是AE的中点，求证：AC∥平面BDG；
（II）若点F为线段AB的中点，求二面角B-CE-F的正切值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）利用三角形的中位线定理和线面平行的判定定理即可证明；
（2）利用线面垂直的判定和性质定理、面面垂直的性质定理、二面角的定义即可得出．

解答：（Ⅰ）证明：连接CE、BD，设CE∩BD=O，连接OG，由三角形的中位线定理可得：OG∥AC，
∵AC?平面BDG，OG?平面BDG，
∴AC∥平面BDG．
（Ⅱ）∵平面ABC⊥平面BCDE，DC⊥BC，∴DC⊥平面ABC，
∴DC⊥AC，
在Rt△ACD中，CD=

AD2-AC2

=

42-22

=2

3

．
取BC的中点M，连接AM，则AM⊥平面BCDE．
取BM 的中点N，连接FN，则FN∥AM，∴FN⊥平面BCDE．
过点N作NP⊥CE，垂足为P，连接FP，由三垂线定理可得FP⊥CE．
∴∠FPN为二面角B-CE-F的平面角．
在Rt△CNP中，NP=CNsin∠NCP=

3

2

×

2 3

(2 3 )2+22

=

3 3

4

．
在Rt△FNP中，tan∠FPN=

FN

NP

=

3 2

3 3 4

=

2

3

．

点评：熟练掌握三角形的中位线定理、线面平行的判定定理、线面及面面垂直的判定和性质定理、二面角的定义是解题的关键．