题目内容

已知向量
m
=(cos θ，sin θ)和
n
=(
2
-sin θ，cos θ)，θ∈（π，2π），且|
m
+
n
|=
8
2
5
，求sinθ和cos(
θ
2
+
π
8
)的值．
分析：根据向量的坐标运算求出
m
+
n
，然后表示出
m
+
n
的模，利用同角三角函数间的基本关系、两角和的余弦函数公式及特殊角的三角函数值化简后，让模等于
8
2
5
，列出关于cos（θ+
π
4
）的方程，两边平方即可得到cos（θ+
π
4
）的值，根据二倍角的余弦函数公式化简cos（θ+
π
4
），得到cos2(
θ
2
+
π
8
)的值，然后根据θ的范围求出
θ
2
+
π
8
的范围，进而判断出cos（
θ
2
+
π
8
）的正负，开方即可求出值．
解答：解：
m
+
n
=(cosθ-sinθ+
2
，cosθ+sinθ)，
|
m
+
n
|=
(cosθ-sinθ+
2
)2+(cosθ+sinθ)2

=
4+2
2
(cosθ-sinθ)

=
4+4cos(θ+
π
4
)
．
=2
1+cos(θ+
π
4
)

由已知|
m
+
n
|=
8
2
5
，得cos(θ+
π
4
)=
7
25
，
∴sin（θ+
π
4
）=
1-(
7
25
)2
=
24
25
，
∴sinθ=sin[（θ+
π
4
）-
π
4
]=
2
2
×（
24
25
-
7
25
）=
17
2
50
；
又cos(θ+
π
4
)=2cos2(
θ
2
+
π
8
)-1，
所以cos2(
θ
2
+
π
8
)=
16
25
．
∵π＜θ＜2π，∴
5π
8
＜
θ
2
+
π
8
＜
9π
8
，
∴cos(
θ
2
+
π
8
)＜0．
∴cos(
θ
2
+
π
8
)=-
4
5
．
点评：此题考查学生会求向量的模，灵活运用两角和与差的余弦函数公式及同角三角函数间的基本关系化简求值，灵活运用二倍角的余弦函数公式及特殊角的三角函数值化简求值，是一道综合题．
练习册系列答案
相关题目
已知向量
m
=(cosα-
2
3
，-1)，
n
=(sinα，1)
m
∥
n
且α∈(-
π
2
，0)
（1）求sinα-cosα的值．
（2）求
1+sin2α+cos2α
1+tanα
的值．
已知向量
m
=(cosωx，sinωx)，
n
=(cosωx，
3
cosωx)，设函数f(x)=
m
•
n
．
（1）若f（x）的最小正周期是2π，求f（x）的单调递增区间；
（2）若f（x）的图象的一条对称轴是x=
π
6
，（0＜ω＜2），求f（x）的周期和值域．
已知向量
m
=(cosα-
2
3
，-1)，
n
=(sinα，1)，
m
与
n
为共线向量，且α∈[-π，0]．
（Ⅰ）求sinα+cosα的值
（Ⅱ）求
sin2α
sinα-cosα
的值．
已知向量
m
=(cosθ，sinθ)，
n
=(1-
3
sinθ，
3
cosθ)，θ∈（0，π），若|
m
+
n
|=2
2
，求cos(
θ
2
+
π
6
)的值．

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