Question

【题目】设A是由m×n个实数组成的m行n列的数表，满足：每个数的绝对值不大于1，且所有数的和为零，记s（m，n）为所有这样的数表构成的集合．对于A∈S（m，n），记ri（A）为A的第ⅰ行各数之和（1≤ⅰ≤m），Cj（A）为A的第j列各数之和（1≤j≤n）；记K（A）为|r1（A）|，|R2（A）|，…，|Rm（A）|，|C1（A）|，|C2（A）|，…，|Cn（A）|中的最小值．
（1）如表A，求K（A）的值；

1	1	﹣0.8
0.1	﹣0.3	﹣1

（2）设数表A∈S（2，3）形如

1	1	c
a	b	﹣1

求K（A）的最大值；
（3）给定正整数t，对于所有的A∈S（2，2t+1），求K（A）的最大值．

Answer 1

【答案】
（1）解：由题意可知r1（A）=1.2，r2（A）=﹣1.2，c1（A）=1.1，c2（A）=0.7，c3（A）=﹣1.8

∴K（A）=0.7

（2）解：先用反证法证明k（A）≤1：

若k（A）＞1

则|c1（A）|=|a+1|=a+1＞1，∴a＞0

同理可知b＞0，∴a+b＞0

由题目所有数和为0

即a+b+c=﹣1

∴c=﹣1﹣a﹣b＜﹣1

与题目条件矛盾

∴k（A）≤1．

易知当a=b=0时，k（A）=1存在

∴k（A）的最大值为1

（3）解：k（A）的最大值为 ．

首先构造满足 的A={ai，j}（i=1，2，j=1，2，…，2t+1）： ， ．

经计算知，A中每个元素的绝对值都小于1，所有元素之和为0，且 ， ， ．

下面证明 是最大值．若不然，则存在一个数表A∈S（2，2t+1），使得 ．

由k（A）的定义知A的每一列两个数之和的绝对值都不小于x，而两个绝对值不超过1的数的和，其绝对值不超过2，故A的每一列两个数之和的绝对值都在区间[x，2]中．由于x＞1，故A的每一列两个数符号均与列和的符号相同，且绝对值均不小于x﹣1．

设A中有g列的列和为正，有h列的列和为负，由对称性不妨设g＜h，则g≤t，h≥t+1．另外，由对称性不妨设A的第一行行和为正，第二行行和为负．

考虑A的第一行，由前面结论知A的第一行有不超过t个正数和不少于t+1个负数，每个正数的绝对值不超过1（即每个正数均不超过1），每个负数的绝对值不小于x﹣1（即每个负数均不超过1﹣x）．因此|r1（A）|=r1（A）≤t1+（t+1）（1﹣x）=2t+1﹣（t+1）x=x+（2t+1﹣（t+2）x）＜x，

故A的第一行行和的绝对值小于x，与假设矛盾．因此k（A）的最大值为

【解析】（1）根据ri（A），Cj（A），定义求出r1（A），r2（A），c1（A），c2（A），c3（A），再根据K（A）为|r1（A）|，|R2（A）|，|R3（A）|，|C1（A）|，|C2（A）|，|C3（A）|中的最小值，即可求出所求．（2）先用反证法证明k（A）≤1，然后证明k（A）=1存在即可；（3）首先构造满足 的A={ai ， j}（i=1，2，j=1，2，…，2t+1），然后证明 是最大值即可．