题目内容
在平面直角坐标系中，已知A1（-3，0）A2（3，0）P（x，y）M（
，0），若向量
，λ
，
满足(
)2=3
•
（1）求P点的轨迹方程，并判断P点的轨迹是怎样的曲线；
（2）过点A1且斜率为1的直线与（1）中的曲线相交的另一点为B，能否在直线x=-9上找一点C，使△A1BC为正三角形．
| x2-9 |
| A1P |
| OM |
| A2P |
| OM |
| A1P |
| A2P |
（1）求P点的轨迹方程，并判断P点的轨迹是怎样的曲线；
（2）过点A1且斜率为1的直线与（1）中的曲线相交的另一点为B，能否在直线x=-9上找一点C，使△A1BC为正三角形．
分析：（1）直接由已知中点的坐标得到向量的坐标，代入(
)2=3
•
整理得答案；
（2）求出过点A1且斜率为1的直线方程，和（1）中椭圆联立后求出两个焦点的坐标，设出C的坐标，利用∵△A1BC是正三角形得到边长相等，由边长相等得到矛盾的式子，从而说明在直线x=-9上找不到一点C，使△A1BC为正三角形．
| OM |
| A1P |
| A2P |
（2）求出过点A1且斜率为1的直线方程，和（1）中椭圆联立后求出两个焦点的坐标，设出C的坐标，利用∵△A1BC是正三角形得到边长相等，由边长相等得到矛盾的式子，从而说明在直线x=-9上找不到一点C，使△A1BC为正三角形．
解答：解：（1）由A1（-3，0），A2（3，0），P（x，y），M（
，0），
可得
=(x+3，y)，
=(x-3，y)，
=(
，0)，
∵(
)2=3
•
，∴x2-9=3（x+3，y）•（x-3，y），
即x2-9=3x2+3y2-27，也就是2x2+3y2-18=0，即
+
=1，
故P点的轨迹是与6为长轴长，2
为焦距，焦点在x轴上的椭圆；
（2）过点A1且斜率为1的直线方程为y=x+3，
由
，得5x2+18x+9=0，x1=-3， x2=-
．
从而|A1B|=
|x2-x1|=
．
设C（-9，y），则|A1C|=
=
．
∵△A1BC是正三角形，∴|A1B|=|A1C|，
=
，
即y2=-
，无解，
∴在直线x=-9上找不到点C，使△A1BC是正三角形．
| x2-9 |
可得
| A1P |
| A2p |
| OM |
| x2-9 |
∵(
| OM |
| A1P |
| A2P |
即x2-9=3x2+3y2-27，也就是2x2+3y2-18=0，即
| x2 |
| 9 |
| y2 |
| 6 |
故P点的轨迹是与6为长轴长，2
| 3 |
（2）过点A1且斜率为1的直线方程为y=x+3，
由
|
| 3 |
| 5 |
从而|A1B|=
| 1+k2 |
| 12 |
| 5 |
| 2 |
设C（-9，y），则|A1C|=
| (-9+3)2+(y-0)2 |
| y2+36 |
∵△A1BC是正三角形，∴|A1B|=|A1C|，
| y2+36 |
| 12 |
| 5 |
| 2 |
即y2=-
| 612 |
| 25 |
∴在直线x=-9上找不到点C，使△A1BC是正三角形．
点评：本题考查了轨迹方程，考查了直线与圆锥曲线的关系，训练了平面向量的坐标运算，考查了两点间距离的求法，是中高档题．
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