Question

对两个实数x，y，定义运算“*”，x*y=1+x+y．若点P（x*y，（-x）*y）在第四象限，点Q（x*y，（-x）*（3-x+y））在第一象限，当P，Q变动时动点M（x，y）形成的平面区域为Ω，则使{（x，y）|（x-1）²+（y+1）²＜r²（r＞0）}⊆Ω成立的r的最大值为（　　）

• A．

  2

• B．

  5

• C．

  5

  5

• D．

  2

  2

Answer 1

分析：由题意可得

1+x+y＞0 1-x+y＜0 4-2x+y＞0

，动点M形成的区域Ω，如图所示．则圆心E（1，-1）到三条直线的距离分别为d₁，d₂，d₃，而要满足使{（x，y）|（x-1）²+（y+1）²＜r²（r＞0）}⊆Ω成立的r的最大值，则应取三个数中d₁，d₂，d₃的最小值即可．

解答：解：由题意可得

1+x+y＞0 1-x+y＜0 4-2x+y＞0

，动点M形成的区域Ω，如图所示．
则圆心E（1，-1）到三条直线的距离分别为d1=

1

2

=

2

2

，d2=

1

2

=

2

2

，d3=

1

5

=

5

5

．
而使{（x，y）|（x-1）²+（y+1）²＜r²（r＞0）}⊆Ω成立的r的最大值={

2

2

，

5

5

}中的最小值，
因此r=

5

5

．
故选C．

点评：正确理解新定义和掌握线性规划的有关知识、直线与圆相切的性质、点到直线的距离公式等是解题的关键．