求满足下列条件的概率(若是古典概率模型请列出所有基本事件)(1)若mn都是从集合{1.2.3}中任取的数字.求函数f(x)=x2-4mx+4n2有零点的概率,(2)若mn都是从区间[1.4]中任取的数字.①求函数f(x)=x2-4mx+4n2在区间[2.4]上为单调函数的概率,②在区间[0.4]内任取两个实数x.y.求事件“x2+y2＞(m-n)2恒成立 � 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

求满足下列条件的概率（若是古典概率模型请列出所有基本事件）
（1）若mn都是从集合{1，2，3}中任取的数字，求函数f（x）=x²-4mx+4n²有零点的概率；
（2）若mn都是从区间[1，4]中任取的数字，
①求函数f（x）=x²-4mx+4n²在区间[2，4]上为单调函数的概率；
②在区间[0，4]内任取两个实数x，y，求事件“x²+y²＞（m-n）²恒成立”的概率．

分析：（1）设函数f（x）有零点为事件A，由于m、n都是从集合{1，2，3}中任取的数字，依题意得所有的基本事件个数为N=9．若函数f（x）=x²-4mx+4n²有零点，
则△=16m²-16n²≥0，化简可得m≥n．用列举法求得事件A所含的基本事件共有6个，由此可得事件A的概率．
（2）①设函数f（x）=x²-4mx+4n²在区间[2，4]上为单调函数为事件B，依题意得所有基本事件构成的区域面积为S_Ω=9．则构成事件B的区域

=3，
由此求得事件B的概率．
②设在区间[0，4]内任取两个实数x，y，“x²+y²＞（m-n）²恒成立”为事件C，则事件C等价于“x²+y²＞9”，求得全部结果所构成的区域Ω的面积为16，
而事件C所构成的区域B构成的区域面积SC=16-

π，根据P（C）=

SΩ

，运算求得结果．

解答：

解：（1）设函数f（x）有零点为事件A，由于m、n都是从集合{1，2，3}中任取的数字，依题意得
所有的基本事件为（1，1），（1，2），（1，3），（2，1），（2，2），（2，3），（3，1），
（3，2），（3，3），其中第一个数表示m的取值，第二个数表示n的取值，即基本事件总数为N=9．
若函数f（x）=x²-4mx+4n²有零点，则△=16m²-16n²≥0，化简可得m≥n．
故事件A所含的基本事件为（1，1），（2，1），（2，2），（3，1），（3，2），（3，3），共计6个基本事件，
则p(A)=

．…（5分）
（2）①设m、n都是从区间[1，4]中任取的数字，设函数f（x）=x²-4mx+4n²在区间[2，4]上为单调函数为事件B，
依题意得，所有的基本事件构成的区域Ω={(m，n)|

1≤m≤4

1≤n≤4

}，故所有基本事件构成的区域面积为S_Ω=9．
若函数f（x）=x²-4mx+4n²在区间[2，4]上为单调函数，则对称轴方程为2≤2m≤4，求得1≤m≤2．
则构成事件B的区域

=3，如图所示（阴影部分表示事件B）．
则p(B)=

．…（9分）

②设在区间[0，4]内任取两个实数x，y，“x²+y²＞（m-n）²恒成立”为事件C，则事件C等价于“x²+y²＞9”，
（x，y）可以看成平面中的点，则全部结果所构成的区域Ω={（x，y）|0≤x≤4，0≤y≤4，x，y∈R}，
而事件C所构成的区域B={（x，y）|x²+y²＞9，（x，y）∈Ω }．如图所示（阴影部分表示事件C）
S_Ω=4×4=16，SC=16-

π，∴P（C）=

SΩ

16-

9π

=1-

π． …（14分）

点评：本题主要考查几何概型、古典概型及其概率计算公式的应用，列举法，是解决古典概型问题的一种重要的解题方法，属于基础题．